Studium, Ausbildung und Beruf
 StudiumHome   FAQFAQ   RegelnRegeln   SuchenSuchen    RegistrierenRegistrieren   LoginLogin

Beweis: Wurzel 3 + Wurzel 2
Gehe zu Seite 1, 2  Weiter
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Beweis: Wurzel 3 + Wurzel 2
 
Autor Nachricht
inphinity
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 15.10.2008
Beiträge: 21

BeitragVerfasst am: 20 Okt 2008 - 02:31:19    Titel: Beweis: Wurzel 3 + Wurzel 2

Hallo, mir ist zwar das Beweisverfahren für die Irrationalität für z.B Wurzel(2) bekannt, aber wie mach ich das wenn ich es für

Wurzel(2)+Wurzel(3) beweisen soll ?

Kann ich Wurzel (2) und Wurzel(3) auch getrennt mit hilfe des indirekten Beweises beweisen? Und wenn beides stimmt, kann ich dann sagen dass der komplette term irrational ist?

Hoffe ihr könnt mir helfen
Armin Gibbs
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 06.02.2008
Beiträge: 992

BeitragVerfasst am: 20 Okt 2008 - 03:10:48    Titel:

Zitat:
Kann ich Wurzel (2) und Wurzel(3) auch getrennt mit hilfe des indirekten Beweises beweisen? Und wenn beides stimmt, kann ich dann sagen dass der komplette term irrational ist?

Nein, denn die Summe zweier irrationaler Zahlen ist nicht immer irrational. (Betrachte z.B. sqrt(2) und 1-sqrt(2)).

Du kannst aber folgendermaßen vorgehen:

Angenommen sqrt(2)+sqrt(3) sei rational, dann gibt es teilerfremde ganze Zahlen p und q, so dass sqrt(2)+sqrt(3)=p/q. Daraus folgt, dass auch das Quadrat aus der Summe der Wurzeln rational ist, denn
(sqrt(2)+sqrt(3))^2 = 2+3+2*sqrt(6) = p^2/q^2.

Der Rest sollte dir nun klar sein.
inphinity
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 15.10.2008
Beiträge: 21

BeitragVerfasst am: 20 Okt 2008 - 18:45:38    Titel:

Zitat:
(sqrt(2)+sqrt(3))^2 = 2+3+2*sqrt(6) = p^2/q^2


Wie kommt man auf die gleichung nach dem =-Zeichen (im Zitat FETT markiert).

Danke
One for one
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 26.06.2007
Beiträge: 1034
Wohnort: Aachen

BeitragVerfasst am: 20 Okt 2008 - 18:46:55    Titel:

Binomische Formel.
inphinity
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 15.10.2008
Beiträge: 21

BeitragVerfasst am: 21 Okt 2008 - 19:56:11    Titel:

Achso...aber wie geh ich jetzt mit dem Beweis weiter? Kann mir vielleicht noch jemand helfen?
Armin Gibbs
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 06.02.2008
Beiträge: 992

BeitragVerfasst am: 21 Okt 2008 - 19:59:31    Titel:

Ausgehend von 2+3+2*sqrt(6) = p^2/q^2 formt man um zu

sqrt(6) = (p^2/q^2 - 5)/2

Jetzt überlege:
Ist sqrt(6) rational?
Ist (p^2/q^2 - 5)/2 rational?
inphinity
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 15.10.2008
Beiträge: 21

BeitragVerfasst am: 21 Okt 2008 - 21:09:48    Titel:

Sorry aber ich habs irgendwie anders gelernt. Kannst du mir den letzen Schritt, ob sqrt(6) rational ist und der andere term rational ist, nochmal genauer erklären?

Danke
Armin Gibbs
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 06.02.2008
Beiträge: 992

BeitragVerfasst am: 21 Okt 2008 - 21:23:30    Titel:

Ok, also nochmal langsam:

Wir nehmen an, dass die Summe sqrt(2)+sqrt(3) eine rationale Zahl ist.

Dann lässt sich sqrt(2)+sqrt(3) als Bruch p/q darstellen, wobei p und q ganze Zahlen sind.

Damit ist auch das Quadrat dieser Zahl rational, denn
(sqrt(2)+sqrt(3))^2 = p^2/q^2 (Bruch ganzer Zahlen).

Der Linksterm ergibt nach binomischer Formel
(sqrt(2)+sqrt(3))^2 = 2+3+2*sqrt(2)*sqrt(3) = 5 + 2*sqrt(6).

Damit erhalten wir die Gleichung
5 + 2*sqrt(6) = p^2/q^2

Diese formen wir äquivalent um, indem wir zuerst 5 subtrahieren und dann durch 2 dividieren:

sqrt(6) = ((p^2/q^2) - 5)/2

Ist der rechte Teil eine rationale Zahl? Die Antwort ist ja, denn das Ergebnis ist ein Bruch aus ganzen Zahlen:

((p^2/q^2) - 5)/2 = p^2/(2*q^2) - 5/2 = (p^2 - 5*q^2)/(2*q^2)

Ist sqrt(6) eine rationale Zahl? Die Antowort ist nein. Warum? - Siehe Irrationalitätsbeweis von Euclid.

Damit haben wir einen Widerspruch. Und aus diesem folgt, dass die Annahme (die Summe sqrt(2)+sqrt(3) ist rational) falsch sein muss.
inphinity
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 15.10.2008
Beiträge: 21

BeitragVerfasst am: 21 Okt 2008 - 21:58:04    Titel:

danke du hast mir den abend gerettet Wink))
Kaaatha
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 15.03.2008
Beiträge: 26
Wohnort: Wahrenholzer Land

BeitragVerfasst am: 10 Nov 2008 - 19:07:13    Titel:

Hallo, ich hab eine ähnliche Aufgabe zu lösen:

und zwar soll ich beweisen, dass 5*sqrt(2)-2*sqrt(5) irrational ist!
Ich habe heut erst mit hängen und würgen, den beweis von sqrt(2) gerafft... diese Aufgabe ist mir aber eine Nummer zu hoch!
Könnt ihr mir helfen?!

Danke schonmal!
Beiträge der letzten Zeit anzeigen:   
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Beweis: Wurzel 3 + Wurzel 2
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde
Gehe zu Seite 1, 2  Weiter
Seite 1 von 2

 
Gehe zu:  
Du kannst keine Beiträge in dieses Forum schreiben.
Du kannst auf Beiträge in diesem Forum nicht antworten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht bearbeiten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht löschen.
Du kannst an Umfragen in diesem Forum nicht mitmachen.

Chat :: Nachrichten:: Lexikon :: Bücher :: Impressum