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Untervektorraum
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farnold
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Anmeldungsdatum: 28.09.2008
Beiträge: 219

BeitragVerfasst am: 20 Okt 2008 - 18:26:07    Titel: Untervektorraum

Hallo,
hab mal ne kleine verständnisfrage zum UNtervekotraum.

1.) Der UNtervekottraum von R^2 ist ja R^2 selbst der Nullvektor und die Geraden die durch den Nullvekotr gehen.
Meine Frage, ist EINE EINZIGE gerade die duch den ursprung geht schon ein Untervektoraum? oder bilden alle diese geraden zusammen einen?

2.) Ist im R^3 eine gerade durch {0} auch ein Untervekotraum.

das würd mir viel fürs verständis bringen Smile

mfg farnold
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
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BeitragVerfasst am: 20 Okt 2008 - 18:39:10    Titel:

Ja, die genannten Dinge bilden UVR. Das kannst du dir doch direkt aus der Definition überlegen:

Ein Untervektorraum U eines Vektorraumes V ist eine Teilmenge von V, welche selbst einen Vektorraum bildet, das heißt, es muss für alle Elemente x und y aus U und für alle Skalare k aus K (dem Körper über dem dem V definiert ist) der Ausdruck (x + ky) ebenfalls ein Element von U sein. Beispiel an einer Geraden in R²:

U := {(x, y) | 2x = 3y} = {t (3, 2) | t € R}

Seien nun ((a, b) = r (3, 2)) und ((c, d) = s (3, 2)) aus U und k aus R. Dann gilt:

r (3, 2) + ks (3, 2) = (r + ks) (3, 2)

Da das offensichtlich auch von der Form t (3, 2) ist, bildet U einen UVR von R².
farnold
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Anmeldungsdatum: 28.09.2008
Beiträge: 219

BeitragVerfasst am: 20 Okt 2008 - 23:19:04    Titel:

1000 dank das hat mir sehr weitergeholgen!!!

um im R^2 zu bleiben liest man offt das man untersuchen soll ob {x : x1 + x2 < 3} ein UVR ist, überprüfen tu ich das ja dann auch wieder mit den axiomen, das ist mir jetzt klar.
nur ich frag mich WIE der vermeidliche UVR aussehen würde, wären dass dann alle geraden mit der eigenschaft x1+ x2 < 3?!?!
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
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BeitragVerfasst am: 20 Okt 2008 - 23:34:29    Titel:

Zunächst mal bildet die angegebene Menge keinen UVR. Um das zu zeigen, reicht die Angabe eines Beispiels:

Die Vektoren (2, 0), (0, 2) erfüllen beiden die Bedingung (dass die Summe der Komponenten kleiner 3 ist) und sind damit Element der angegebenen Menge. Die Summe der Vektoren ist aber (2, 2) und diese Vektor ist offensichtlich nicht in dieser Teilmenge von R².

Zur Anschaung: Es ist die Menge aller Punkte der Ebene, bei denen die Koorinaten-Summe kleiner 3 ist. Würde als Diagramm ungefähr so aussehen:

Code:
           ^
\ \ \ \    |
\ \ \ \ \  |
\ \ \ \ \ \|
\ \ \ \ \ \|\
\ \ \ \ \ \|\ \
\-\-\-\-\-\+\-\-\----->
\ \ \ \ \ \|\ \ \ \
\ \ \ \ \ \|\ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \|\ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \|\ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \|\ \ \ \ \ \
farnold
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Anmeldungsdatum: 28.09.2008
Beiträge: 219

BeitragVerfasst am: 20 Okt 2008 - 23:42:18    Titel:

danke, du bist genial!
farnold
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Anmeldungsdatum: 28.09.2008
Beiträge: 219

BeitragVerfasst am: 21 Okt 2008 - 18:27:40    Titel:

mir ist wieder mal was unklar Sad

wenn ich nachprüfen soll ob x1 + x2 + x3 = 0 im R^10 liegt, heißt das dann, dass x4,x5,....,x10 sein kann was es will? oder ist das die koordiantenform und ich muss sie erst in die parameterform umwandeln?

wenn ich die abgeschloosenheit der addition nachprüfen möchte wie gehe ich dann vor, bzw. was ist mit den x4,x5....x10. ich muss ja zeigen das bei dem vektor der aus der addition hervorgeht wieder x1+x2+x3 = 0 ist!?
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
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BeitragVerfasst am: 21 Okt 2008 - 18:32:08    Titel:

Der Ausdruck "x1 + x2 + x3 = 0" ist ein Wahrheits-Wert, also Elemnt der Menge B = {falsch, wahr}. Von mir aus auch eine Funktion des Typs [ R^n --> B ] mit n >= 3...
Auf jeden Fall kann der Ausdruck schlecht Element von R^n sein - egal welchen Wert n hat. Falls du etwas anderes meinst, dann notiere es bitte halbwegs korrekt oder umschreib zumindest was es bedeuten soll.
farnold
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Anmeldungsdatum: 28.09.2008
Beiträge: 219

BeitragVerfasst am: 21 Okt 2008 - 18:41:29    Titel:

also die aufgabe lautet wiefolgt: wir befinden uns im IR^n

jetzt soll überprüft werden ob {x | x1 + x2 + x3 = 0} ein UVR von IR^n bildet.
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
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BeitragVerfasst am: 21 Okt 2008 - 18:49:57    Titel:

Nunja - offensichtlich muss erstmal n>=3 gelten. Ansonsten der gleiche Ansatz wie üblich:

u, v € {x | x1 + x2 + x3 = 0}
r € R

u + r * v = (u1 + r * v1, u2 + r * v2, u3 + r * v3, ...)

Dieser Vektor muss nun die Bedingungen erfüllen, die in der Menge angegeben sind. Was also müsste gelten?
farnold
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Anmeldungsdatum: 28.09.2008
Beiträge: 219

BeitragVerfasst am: 21 Okt 2008 - 18:58:01    Titel:

u + r * v = u1 + r * v1 + u2 + r * v2 + u3 + r * v3 = 0 ??

aber was ist z.b. mit u4, u5, etc
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