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Mengenschreibweise-Bitte hilft
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Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
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BeitragVerfasst am: 23 Okt 2008 - 18:35:50    Titel:

Da fehlt der Zusammenhang bzw. die durch die Bedingung beschriebene Menge. Gleichheiten von Mengen zeigt man in der Regel durch Inklusion in beide Richtungen, denn es gilt folgende Implikation:

[; \left( \left( A \subseteq B \right) \wedge \left( A \supseteq B \right) \right) \rightarrow \left( A = B \right) ;]

Du müsstest also zeigen, dass jedes Element aus [; \left( A \times B \right) \setminus \left( A \times C \right) ;] auch Element von [; A \times \left( B \setminus C \right) ;] ist und umgekehrt.

Man kann es auch direkt umformen, aber da muss man halt den Überblick behalten:

[; \left( A \times B \right) \setminus \left( A \times C \right) ;]
[; = \left( A \times B \right) \cap \overline{ \left( A \times C \right) } ;]
[; = \left{ p \ \mid \ \left( p \in A \times B \right) \wedge \left( p \notin A \times C \right) \right} ;]
[; = \left{ (x, y) \ \mid \ \left( \left( x \in A \right) \wedge \left( y \in B \right) \right) \wedge \neg \left( \left( x \in A \right) \wedge \left( y \in C \right) \right) \right} ;]
[; = \left{ (x, y) \ \mid \ \left( \left( x \in A \right) \wedge \left( y \in B \right) \wedge \left( \left( x \notin A \right) \right) \vee \left( y \notin C \right) \right) \right} ;]
[; =^1 \left{ (x, y) \ \mid \ \left( x \in A \right) \wedge \left( y \in B \right) \wedge \left( y \notin C \right) \right} ;]
[; = \left{ (x, y) \ \mid \ \left( x \in A \right) \wedge \left( \left( y \in B \right) \wedge \left( y \notin C \right) \right) \right} ;]
[; = \left{ (x, y) \ \mid \ \left( x \in A \right) \wedge \left( y \in \left( B \cap \overline{C} \right) \right) \right} ;]
[; = \left{ (x, y) \ \mid \ \left( x \in A \right) \wedge \left( y \in \left( B \setminus C \right) \right) \right} ;]
[; A \times \left( B \setminus C \right) ;]

Anmerkung zu =1=:
[; \left( p_1 \wedge p_2 \right) \wedge \left( \neg p_1 \vee \neg p_3 \right) ;]
[; \equiv \left( p_1 \wedge p_2 \wedge \neg p_1 \right) \vee \left( p_1 \wedge p_2 \wedge \neg p_3 \right) ;]
[; \equiv \text{falsch} \vee \left( p_1 \wedge p_2 \wedge \neg p_3 \right) ;]
[; \equiv p_1 \wedge p_2 \wedge \neg p_3 ;]


Zuletzt bearbeitet von Annihilator am 23 Okt 2008 - 18:50:14, insgesamt 2-mal bearbeitet
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Anmeldungsdatum: 26.06.2007
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BeitragVerfasst am: 23 Okt 2008 - 18:42:33    Titel:

Hmm, ich habs jetzt auch mal probiert, vielleicht findet ja jemand einen Fehler, dann hätte es sich wenigstens gelohnt:

[; \ \{(x,y)| (x\in A)\wedge (y\in B)\}\setminus;][; \{(x, y)| (x\in A)\wedge (y\in C)\};]

[;= \left{(x, y) \| \left((x\in A)\wedge (y\in B)\right)\wedge\neg\left((x\in A)\wedge (y\in C)\right)\right};]

[;=\left{(x, y) \| \left((x\in A)\wedge (y\in B)\right)\wedge\left((x\not\in A)\vee (y\not\in C)\right)\right};][;=\left{(x, y) \| \left((x\in A)\wedge (y\in B)\wedge (x\not\in A)\right)\vee\left((x\in A)\wedge (y\in B)\wedge(y\not\in C\right)\right};]

[;=\left{(x, y) \| \left((x\in A)\wedge (y\in B)\wedge(y\not\in C\right)\right};][;=\left{(x, y) \| \left((x\in A)\wedge (y\in B)\wedge(y\not\in C\right)\right};][;=\left{(x, y) \| (x\in A)\wedge \left((y\in B)\wedge(y\not\in C\right)\right};]

[;\left{(x, y) \| (x\in A)\wedge \left(y\in B\setminus C\right)\right}=A\times(B\setminus C);]
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Anmeldungsdatum: 30.09.2006
Beiträge: 3984

BeitragVerfasst am: 23 Okt 2008 - 18:55:14    Titel:

ach stimmt ja.. ok, danke..

wenn ich mich recht erinnere, kann man, wenn man "aufpasst" durch Äquivalenzzeichen es in einem Schritt in beide Richtungen ermöglichen, oder ?
Also ohne explizit die "andere Richtung" zu zeigen..
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
Wohnort: (hier nicht mehr aktiv)

BeitragVerfasst am: 23 Okt 2008 - 19:09:56    Titel:

Ja; genau das hab ich oben getan. So schön wie in diesem Beispiel geht das natürlich nicht immer. Gehäuft ist es so, dass man Inklusion in eine Richtung trivial zeigen kann und die andere Richtung ein harter Fall wird. Mit direktem Umformen braucht man da eigentlich gar nicht erst probieren, vor allem wenn die Mengen nicht so formal definiert werden können wie "Differenz zweier kartesischer Produkte".
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Anmeldungsdatum: 30.09.2006
Beiträge: 3984

BeitragVerfasst am: 23 Okt 2008 - 20:07:58    Titel:

ok, danke.

Hoffe mal, dass unsere Mathe-Module uns so etwas vorbehalten ^^
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Anmeldungsdatum: 30.09.2006
Beiträge: 3984

BeitragVerfasst am: 23 Okt 2008 - 20:33:52    Titel:

könnt ihr mir gerade mal einen Schubser geben ?

(AuA´) \ (BuB´) = (A\B)u(A´\B´)

(x€A v x€A´) und nicht (x€B v x€B´)

(x€A v x€A´) und (x€B und x€B´)

(x€A v x€A´) und xNicht€B und x€B´

wie kann ich hier weitergehen ? Hätte das Distributivgesetz angewandt, komme aber damit nich wirklich zu dem Ergebnis

(x€A v (x€B und x€B´)) und (x€A´ v (xNicht€B und x€B´))
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