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analytische geometrie
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Abi-stress
Gast






BeitragVerfasst am: 16 Apr 2005 - 21:24:48    Titel: analytische geometrie

Hallo !

Ich schreibe Montag meine Mathe GK Abi Klausur und habe nachdem der beste bei der vor-abi-klausur nur 56% der klausur geschafft hat, etwas besorgt.

Nun ja,... ich wollte mal fragen ob jemand hier vielleicht erklären könnte oder mir tips geben kann wie ich eine Koordinatengleichung in Parameterform oder Hessesche Normalform umwandeln kann oder umgekehrt,.. also von HNF zu KG,.. oder PF zu KG.

Danke schon im Vorraus
philanthropos
Gast






BeitragVerfasst am: 16 Apr 2005 - 23:02:28    Titel:

Von der KF i.d. PF:
bestimme in der KF von den drei Variablen x,y,z zwei selbst und berechne die dritte=>Punkt auf der Ebene; das machst du drei mal und stellst dann mit den drei Punkten deine PF (Dreipunktegleichung) auf.

Von der PF i.d. KF:
Das Kreuzprodukt aus den Richtungsvektoren der Ebene in PF liefert den nötigen Normalenvektor und der Stützvektor der Ebene in PF den Punkt um die KF aufstellen zu können.

Von der KF i.d. HNF:
dividiere die ganze Gleichung durch den Betrag des Normalenvektors.
Umkehrung ist denke ich klar.

Alles klar???? Oder alle Klarheiten beseitigt?
DMoshage
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Senior Member


Anmeldungsdatum: 31.03.2005
Beiträge: 691

BeitragVerfasst am: 16 Apr 2005 - 23:11:29    Titel:

Hallo Abi-stress,

erstmal das triviale:

Koordinatenfrom der Ebene nach Normalenform

E: Ax+By+Cz +D = 0

Bildung des Normalenvektor
N = (A,B,C)

Also N*x +D => N*x=-D

Eventuell Normalenvektor normieren. L = |N| = Wurzel( A²+b²+c²)

E: N/L*x = -D/L

fertig.

Normalenform nach Koordinatenform

E: N*x = d
E: (Nx,Ny,Nz)*(x,y,z) = d

Korodinatenform
E: Nx*x + Ny*y + Nz*z -d = 0

fertig.

Aus Parameterform Normalenform

E: x0 + r*x1 + s*x2

Normalenvektor bilden
N = x1 x x2

Eventuell normieren L=|N| => n = N/L

Jetzt das d ermitteln indem man einen Punkt einsetzt

n*x0 = d

Damit habe ich alle Parameter für
E: n*x=d

Wenn ich die Normalenform habe komme ich wie oben natürlich leicht zu Koordinatenform.

Normalenform -> Parameterform

Also erstmal einen Punkt der Geraden bestimmen. Da n die Länge 1 hat und in diesem Fall d der Abstand der Ebene zum Ursprung ist, ist ein Punkt der Ebene x0 = d*n

Jetzt eine Vektor senkrecht zum Normalenvektor bestimmen. Erhält man indem man zwei Komponenten vertauscht und bei einem der beiden das Vorzeichen wechselt.

n = (nx,ny,nz) x1 = (-ny,nx,nz)

Sollte ny = ny = 0 sein, dann ist trivialer Weise x1 = (1,0,0) oder (0,1,0)

Zweiter Vektor dann senkrecht zu x1 und n mit Vektorprodukt also x2 = n x x1

Damit erhält man die Ebenengleichung in Parameterform.

E: x0 + r*x1 + s*x2

Gruß
Dirk
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