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Textaufgabe
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inphinity
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Anmeldungsdatum: 15.10.2008
Beiträge: 21

BeitragVerfasst am: 23 Okt 2008 - 20:33:00    Titel: Textaufgabe

Folgende Aufgabe:

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In einem Land gibt es nur zwei Sorten von Menschen: Edelmänner und Schurken. Jeder Edelmann macht
nur wahre Aussagen, jeder Schurke nur falsche Aussagen. Ein nicht aus diesem Land stammender Reporter
berichtet, er habe folgendes Gespräch dreier Einwohner A, B und C dieses Landes gehört:

A sagt zu B: ”Wenn C ein Edelmann ist, dann bist du ein Schurke.“
C sagt zu A: ”Du bist von anderer Sorte als ich.“

Kann ein solches Gespräch stattgefunden haben? Wenn das der Fall ist, geht dann aus dem Gespräch
für jeden der drei Einwohner A,B,C eindeutig hervor, ob er Edelmann oder Schurke ist, und zu welchen
Sorten gehören dann A, B und C?
--------------------------------------------------


Hat das vielleicht was mit Mengen zu tun oder wie kann man das mathematisch lösen?

Danke
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
Wohnort: (hier nicht mehr aktiv)

BeitragVerfasst am: 23 Okt 2008 - 21:13:10    Titel:

Das löst man leicht mit Aussagen-Logik und hat jetzt nicht unmittelbar was mit Mathematik zu tun.

p := <A ist ein Edelmann>
q := <B ist ein Edelmann>
r := <C ist ein Edelmann>

F = (r --> -q)
G = -(p <--> r)

Die Frage ist jetzt, ob die Formelmenge {F, G} erfüllbar ist, also ob es eine Interpretation gibt, welche beide Formeln auf wahr abbildet. Es gibt 2³ = 8 verschiedene Interpretationen:

I[0] = {}
I[1] = {r}
I[2] = {q}
I[3] = {q, r}
I[4] = {p}
I[5] = {p, r}
I[6] = {p, q}
I[7] = {p, q, r}

X := {I[0], I[1], I[2], I[4], I[5], I[6], I[7]}
Y := {I[1], I[3], I[4], I[6]}

X enthält alle Interpretationen, welche F auf wahr abbilden und Y alle, die G auf wahr abbilden. Die Schnittmenge ist {I[1], I[4], I[6]}. Da diese Menge also schon mal nicht leer ist, kann dieses Gespräch statt gefunden haben. Folgende Möglichkeiten gibt es dafür (die drei übrigen Interpretationen):

1) Nur A ist ein Edelmann
2) Nur C ist ein Edelmann
3) Nur C ist ein Schurke
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