dx, dt, dr, dm und Konsorten

Raxbi · Newbie Anmeldungsdatum: 27.10.2008 Beiträge: 5

Hi,
nachdem ich festgestellt habe, dass dem "dx" ganz unterschiedliche Bedeutungen zukommen, muss ich nochmal nachfragen, um mir etwas Klarheit zu verschaffen. dx usw. ist doch genau genommen nur eine Vorschrift, mit der man nicht rechnet, weil es ja auch keine eindeutige Zahl ist, seh ich das richtig??
Insbesondere gehts mir hierbei um das Integral. Häufig sieht man ein Malzeichen vor dem dx, dt, dr, je nachdem in welcher Formel man. Würde ja auch logisch klingen, schaut man sich dann jedoch mal paar Beispielrechnungen an wird sofort klar, dass damit nicht multipliziert wird, sondern dass "d.." nur als Operator gilt und angibt, nach welcher Variable integriert wird. Hinzukommt, dass Physiker dx ganz anders behandeln als Mathematiker und beim Trennen von Variablen damit Multiplizieren und Dividieren.

Beispiel: Massenträgheitsmoment beim Vollzylinder

Vollzylinder wurde in infinitesimal kleine Hohlzylinder eingeteilt

Massenträgheitsmoment J=int r²dm ...
dm wurde ersetzt durch:

dm=roh*2pi*r*h*dr ... wobei dr die Dicke eines dieser Hohlzylinder ist

Im nächsten Schritt stand schon ein Integralzeichen davor und dr war nur noch ein Operator:

J=int r²*roh*2pi*r*h*dr

Genau das verwirrt mich dann. Ich würde zwar mit dr so umgehen wie immer, also dr als Angabe der Intergrationsvariablen, aber wieso schreibt man das immer mit Multiplikationszeichen dazwischen? dr ist doch keine Zahl in dem Sinne, mit der man rechnen kann.
Irgendwie wills einfach nicht in meinen Kopf. Ich hab mir im Internet schon viel dazu durchgelesen, aber es kommen so wie heute doch wieder Situationen, wo ich ins Grübeln gerate.

Ich ich hab mich einigermaßen verständlich ausgedrückt und ihr könnt helfen!

Danke schonmal.
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Gruß
Daniel

sarc · Senior Member Anmeldungsdatum: 21.09.2006 Beiträge: 2659

Na ja... Wenn du das Ding genau anschaust, hat es schon zumindest die Gestalt einer Zahl. Nehmen wir mal das Integral über f(x). Das entspringt ja der Riemannschen Summe, bei der man zuerst mal f(x)*Delta(x) dranstehen hatte. Nun machte man das Delta(x) immer kleiner, und im Grenzübergang Delta(x) -> 0 hat man plötzlich das Integral dastehen, und auch Delta(x) wird dx. Man könnte das dx aber immer noch als (infinitesimal kleine) Zahl betrachten. Das was die Physiker teilweise machen, also mit dem Ding rechnen als wenns tatsächlich ne Zahl wär, kommt aus dieser Vorstellung. Man muss hier nur genau wissen, wann man das machen darf und wo es Probleme geben kann.
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Don_Viti

Warum so kompliziert ? Die homogene Scheibe hätte es doch auch schon getan Wink

!

Aber zu deinem Problem, sarc hat da schon mal gut vorgelegt ! Aber Zwischen den Zeilen gibt es ja noch die Überlegung, dass: roh*h 2π *r * dr = dV ist und 2π *r * dr = dA

und da es egal ist ob Vollzylinder oder Scheibe mach ich jetzt der Einfachheit mit der Scheibe weiter.

also J = ∫ r^2 *dm und jetzt ist doch das Verhältnis dm / dA = m / π*R^2 --> dm = m*dA / π*R^2

eingesetzt in J = ∫ r^2*2m/π*R^2 * dr

und weiter gerechnet ergibt das J = 0.5* m * R^2.

Ich hoffe ich konnte dir damit helfen, denn ich denke dir waren die Zwischenschritte der Rechnung nicht ganz klar und deswegen die Verwirrung um dr, dx dm,

Hier noch ein gutes Beispiel:

Beschleunigungsarbiet:

W=∫ F ds = ∫ m*a ds

mit a = v° ( v-Punkt also die Ableitung von v) und ds/dt = v --> ds = v * dt eingesetzt ergibt sich

--> W = ∫ m* v° * v * dt

so für v° kann man dv/dt schrieben. Dann ergibt sich

W = ∫ m * dv/dt *v*dt <--- und hier kürzt sich dt weg

--> W = ∫ m *v* dv = m ∫ v * dv = 1/2 * m * v^2

So ich hoffe das veranschaulicht dir jetzt ein bisschen den Umgan mit dx und Kollegen !
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Raxbi · Newbie Anmeldungsdatum: 27.10.2008 Beiträge: 5

Das hat mir schonmal weitergeholfen. Gut erklärt.

@sarc: Man könnte dx vielleicht als inifinitesimal kleine Zahl sehen, aber selbst wenns eine sehr sehr kleine Zahl sein sollte, was sollte man mal rein theoretisch dafür einsetzen? Ist doch nirgends definiert, also z.B. 0,0001 oder weiß der Geier was. Deswegen denke ich ist z.B. dr, welches in einer normalen Gleichung multipliziert wird ein Hinweis darauf, dass hier integriert werden muss, weil ja außerdem die ganze Gleichung dann gegen Null strebt. Ist doch richtig so?

Außerdem hab ich auch noch nie gesehen, dass für dx, dm, dr, dv, dt usw. eine Zahl eingesetzt wird, sondern es dient lediglich als Vorschrift.

@Don_Viti: Das Bsp. mit dem Vollzylinder hatten wir heute in der Physikvorlesung, deswegen keine Scheibe Wink

...

Und nochmal zum Schluss:

Es stimmt, dass in einer Gleichung wie dieser dm=roh*2pi*r*h*dr das dr angibt, dass alles rechts vom Gleichheitszeichen infinitesimal klein wird!!
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Gruß
Daniel

Don_Viti

??? Scheibe oder Vollzylinder ???

Idea

Vergleiche mal die Ergebnisse !

Und dx ist definiert, kuckst du hier

-->http://upload.wikimedia.org/math/f/d/c/fdc88490ec72c91f8aed63bc9e70d6ad.png

Mfg
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Raxbi · Newbie Anmeldungsdatum: 27.10.2008 Beiträge: 5

Vollzylinder!!

Ergebnisse hab ich grad nicht ... sry ... aber warum, is wichtig?
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Gruß
Daniel

Don_Viti

Is das selbe Ergebnis, aber das sollte eure Prof doch mal erwähnt haben !

Mfg
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sarc · Senior Member Anmeldungsdatum: 21.09.2006 Beiträge: 2659

Du hast natürlich völlig Recht: Man geht nicht her und setzt für dx irgendeine Zahl ein, das könnte man auch gar nicht. Mein Vergleich sollte auch nur halbwegs anschaulich erläutern, warum man an vielen Stellen damit rechnet, als wär es eine Zahl. Aber, völlig klar, es ist keine Zahl und darüber muss mans ich auch im Klaren sein. Andererseits darf ich damit durchaus auch mal multiplizieren.

Knalltüte

Differentiale sind doch letztlich nur lineare Funktionen, also kann man mit ihnen machen, was man eben mit Funktionen so macht. Die Bedeutung ist eben, dass es die lokalen linearen Näherungen zu bel. Funktionen sind. Weshalb sie eben nur für kleine Argumente mit zugehörigen Funktionen übereinstimmen. Und vom lokalen Verhalten auf das globale lässt sich eben mittels Integration schließen.
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Ich stell mich manchmal dumm, damit ich nicht allein dastehe.