Supremum der Summe zweier Funktionen

bob_ross · Newbie Anmeldungsdatum: 06.03.2007 Beiträge: 4

Hi,

es sind zwei Funktionen f, g gegeben mit beschränkten Bildern.
Das Supremum einer Funktion ist definiert als das Supremum des Bildes.
sup f := sup f(A)

Die Summe zweier Funktionen bildet wieder eine Funktion
(f+g)(x) := f(x) + g(x) f.a. x Element A

Man soll nun zeigen, dass sup (f+g) kleiner/gleich sup f + sup g.

Ich habe nun schon gezeigt, dass sup f + sup g eine obere Schranke von (f+g) ist:

Sei sup f :=Sf und sup g := Sg

Für jedes y € f(A) bzw. z € g(a) gilt:

y kleiner/gleich Sf und z kleiner/gleich Sg

=> y+z kleiner/gleich Sf +Sg => also ist (Sf + Sg) eine obere Schranke von (f+g)

Allerdings weiß ich jetzt nicht so genau wie ich weiter machen soll...
Ich dachte vielleicht mit einem Widerspruchsbeweis, dass
sup (f+g) > sup f + sup g ... aber irgendwie komme ich so nich weiter...

Vielleicht kann mir da einer von euch weiterhelfen?

Lg Bob