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Indexverschiebung bei Binomialkoeffizienten
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The-Mick
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Anmeldungsdatum: 26.03.2005
Beiträge: 207

BeitragVerfasst am: 08 Nov 2008 - 16:22:06    Titel: Indexverschiebung bei Binomialkoeffizienten

Hallo,
wir haben kürzlich die aufgabe bekommen den binomischen Lehrsatz mit vollständiger Induktion zu beweisen. Jedoch scheitere ich da schon an den Umformungen der Binomialkoeffizienten. (Im Folgenden ist (n über k)=(n k))

Wieso ist (n+1 k)=(n k-1)+(n k)?? oder (n+1 k+1)=(n k)+(n k+1) ?
Im ersten Beispiel geht es ja um die Menge der k-elementigen Teilmengen einer (n+1)-elementigen Menge. Wenn ich nun einmal die die (k-1)-elementige Teilmenge aus n Elementen wähle und diese mit der k-elementigen Teilmenge aus n Elemente addiere, wieso steigt dann die menge nach (n+1)? ich wähle doch zweimal Teilmengen aus EINER Menge, wie kann dies dann zu einer größeren Menge werden??

Vielen Dank schonmal!

PS: Mir würde es auch reichen, wenn ihr Literatur/Internetseiten o.Ä. nennen könntet wo sowas ausführlich erklärt ist.

Gruß, Mick
One for one
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Anmeldungsdatum: 26.06.2007
Beiträge: 1034
Wohnort: Aachen

BeitragVerfasst am: 08 Nov 2008 - 17:00:44    Titel:

Ich versuchs mal anschaulich zu machen:

n+1 über k =^ Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n+1 elementigen Menge

Nimm nun die k-elementigen Teilmengen der n-elementigen Menge, die entsteht, wenn du ein Element der größeren Menge ignorierst. Deren Anzahl ist n über k, nun fehlen dir noch die Teilmengen, die auch das ausgeschlossene Element beinhalten. Dazu betrachtest du die k-1-elementigen Teilmengen der n-elementigen Menge und fügst das ausgeschlossene Element hinzu.

Also ist die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n+1-elementigen Menge (n über k) + (n über k-1).
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1890
Wohnort: Atlantis

BeitragVerfasst am: 08 Nov 2008 - 17:34:30    Titel: Eine ähnliche Aufgabe wurde...

...hier gelöst.
The-Mick
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Anmeldungsdatum: 26.03.2005
Beiträge: 207

BeitragVerfasst am: 08 Nov 2008 - 17:53:53    Titel:

Also halb hab ich es jetzt, nur:
" nun fehlen dir noch die Teilmengen, die auch das ausgeschlossene Element beinhalten. Dazu betrachtest du die k-1-elementigen Teilmengen der n-elementigen Menge und fügst das ausgeschlossene Element hinzu."

Wieso ist das Element nun enthalten, wenn du die (k-1)elementigen Teilmengen betrachtest? Wird das Element etwa nach dem betrachten hinzugefügt? Oder beachtet man in diesem Fall explizit, das der Menge ein Element fehlt und wählt daher (k-1), was man im ersten Fall ignorierte?

Vielen Dank nochmal!

gruß, Mick
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