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Ordnung von Elementen, Gruppen, Struktur eines Z/2Z VR
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ElliPropelli
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Anmeldungsdatum: 08.11.2008
Beiträge: 1

BeitragVerfasst am: 08 Nov 2008 - 18:04:27    Titel: Ordnung von Elementen, Gruppen, Struktur eines Z/2Z VR

Hallo,
ich habe folgendes Problem: Bis nächsten Mittwoch habe ich folgende Aufgabe auf und kann mit der Fragestellung teilweise nichts anfangen:

Sei (G, *) eine endliche Gruppe mit der Eigenschaft, dass jedes nicht neutrale Element x in G die Ordnung 2 hat.
Dann ist G abelsch und #G=2^n
Das konnte ich zeigen, aber außerdem muss man noch zeigen:
Zeige: G trägt die Struktur eines Z/2Z Vektorraums mit der Gruppenverknüpfung als Addition und es gilt in a) die Identität n=dim (G)

Leider weiß ich nicht so recht, wie die Struktur eines Z/2Z VR aussieht und weiß auch nicht, wie ich das mit der Identität zeigen soll bzw was mit Identität genau gemeint ist.

Wäre super, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte!
Vielen Dank![/code]
Tiamat
Senior Member
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Anmeldungsdatum: 25.01.2008
Beiträge: 2092
Wohnort: Aurich

BeitragVerfasst am: 08 Nov 2008 - 18:48:18    Titel:

Ich erkläre es mal anhand eines Beispiels: R^2 ist ein R-Vektorraum, denn man kann die Vektoren aus R^2 mit Elementen (Zahlen) aus R multiplizieren. Ein Vektorraum ist ja nichts anderes als eine abelsche Gruppe, für die zusätzlich noch diese Multiplikation mit Elementen eines Körpers erklärt ist.

Wenn du also G als Z/2Z-Vektorraum auffassen sollst, musst du zeigen, dass die Multiplikation *: Z/2Z x G --> G wohldefiniert ist. Dabei musst du natürlich wissen, wie die Elemente von Z/2Z aussehen.

Für die andere Frage musst du dir klarmachen, wie die Dimension von Vektorräumen allgemein definiert ist (Identität heißt in der Fragestellung nichts anderes als Gleichung), nämlich als Anzahl der Basiselemente und diese Erkenntnis dann auf die Aufgabe anwenden, also: Wieviele Elemente muss eine Basis von G als Z/2Z-Vektorraum haben?
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