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surjektiv ,injektiv oder bijektiv ?
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Amarda86
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Anmeldungsdatum: 09.11.2008
Beiträge: 11

BeitragVerfasst am: 09 Nov 2008 - 13:38:58    Titel: surjektiv ,injektiv oder bijektiv ?

Hallöchen (:

komme grad an bestimmten Aufgaben nicht weiter ):

Gegeben sind A = {1,2,3,4,5}

(das N steht für alle Natürlichen Zahlen)

f:A->N, f(x)= x^2-6x+10 ist diese Abbildung Injektiv/surjektiv?

ist nicht injektiv, da jedes Element der Ziel Menge mehr als einmal angenommen wird ! zb bei x=1 und x=5 da kommt bedes mal y= 5 Raus.

Surjektiv ?
und wie schreibt man das auf ?

danke im Vorraus
Shubi
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Anmeldungsdatum: 21.07.2008
Beiträge: 1193

BeitragVerfasst am: 09 Nov 2008 - 13:47:55    Titel: Re: surjektiv ,injektiv oder bijektiv ?

Amarda86 hat folgendes geschrieben:

Surjektiv ?
und wie schreibt man das auf ?


Auch nen Gegenbeispiel finden Wink
Amarda86
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Anmeldungsdatum: 09.11.2008
Beiträge: 11

BeitragVerfasst am: 09 Nov 2008 - 14:19:27    Titel:

suppy mir fällt ja grad keins ein ):
Tiamat
Senior Member
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Anmeldungsdatum: 25.01.2008
Beiträge: 2092
Wohnort: Aurich

BeitragVerfasst am: 09 Nov 2008 - 14:19:36    Titel:

Oder du machst es folgendermaßen: Versuche die Umkehrfunktion zu bilden, d.h. stelle die Gleichung f(x) = y auf und stelle sie nach x um. Wenn du dann ein y findest, das nicht in die Gleichung eingesetzt werden kann, gibt es zu diesem y kein Urbild, somit wäre die Funktion nicht surjektiv.

Edit: Mir fällt gerade auf, dass es ja um eine quadratische Funktion geht. Die sind nie surjektiv, denn irgendwo muss ja ein Scheitelpunkt liegen und man wählt dann einfach einen Punkt, der über bzw. unter dem Scheitelpunkt liegt. Der y-Wert dieses Punktes wird dann von der Funktion nicht angenommen, d.h. zu ihm gibt es kein Urbild.

Genauer: Bringt man deine Funktion in die Scheitelpunktform, erhält man f(x) = (x-3)^2 +1, d.h. S(3/1). Somit wird der Wert 0 (sowie sämtliche negativen Werte) niemals angenommen, also: nicht surjektiv.
Shubi
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Anmeldungsdatum: 21.07.2008
Beiträge: 1193

BeitragVerfasst am: 09 Nov 2008 - 14:26:10    Titel:

Amarda86 hat folgendes geschrieben:
suppy mir fällt ja grad keins ein ):


Nun, gucken wir mal Wink

Lass uns mal die natürliche Zahl 10 nehmen.

10= x^2-6x+10

0=x(x-6)

x=0 oder x=6.

Beide steckt nicht in A, fertig - denn die natürliche Zahl 10 hat offenbar kein Urbild unter f.
Tiamat
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Anmeldungsdatum: 25.01.2008
Beiträge: 2092
Wohnort: Aurich

BeitragVerfasst am: 09 Nov 2008 - 14:33:10    Titel:

Oh, das hatte ich ganz vergessen - du hast ja eine Definitionsmenge, die nur aus 5 Zahlen besteht!
Dann kannst, anstatt wie Shubi willkürlich eine Zahl zu nehmen, auch die Funktionswerte aller Zahlen bilden, also:

f(1) = 5
f(2) = 2
f(3) = 1
f(4) = 2
f(5) = 5

Das heißt, es gibt überhaupt nur zu den Zahlen 1,2 und 5 Urbilder, damit ist die Funktion sowas von unsurjektiv!
Shubi
Senior Member
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Anmeldungsdatum: 21.07.2008
Beiträge: 1193

BeitragVerfasst am: 09 Nov 2008 - 14:35:49    Titel:

Tiamat hat folgendes geschrieben:

Dann kannst, anstatt wie Shubi willkürlich eine Zahl zu nehmen


Willkür?

Die 10 habe ich genommen, damit du nicht erst ne quadratische Gleichung mit einer Konstanten lösen musst Wink
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