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Komplexe Nullstellen berechnen
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Dr.Dr.Frosch
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Anmeldungsdatum: 20.07.2007
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BeitragVerfasst am: 09 Nov 2008 - 15:10:28    Titel: Komplexe Nullstellen berechnen

Hallo.

Es geht um die komplexen Nullstellen der folgenden Gleichung:

u^6 - 4*u^3 + 4

u^3 = z

z² - 4*z + 4

z1/2 = 2+- 0

u= 3.sqrt(2)

Berechne ich hieraus die kompl. Nullstellen bekomme ich ja nur 3 Stück. Eigentlich müssten es doch aber 6 sein oder?

Hier nochmal die erste:

u1= 3.sqrt(2) * exp(i*pi*2*(1/3)*0) = 3.sqrt(2) * (1/2 + i* sqrt(3))


Also die zwei Fragen: Wie kommt mna auf 6 Nullstellen?
Und: In den lösungen ist r nicht wie bei mir 3.sqrt(2) sondern 3.sqrt(4). Wo liegt mein Fehler?

Gruß

dr.Frosch
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
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BeitragVerfasst am: 09 Nov 2008 - 15:31:00    Titel:

Es sind 6 Nullstellen; sie sind nur nicht alle verschieden voneinander. Sie werden nach der Wertigkeit in der Linear-Faktor-Zerlegung gezählt. Was du noch brauchst ist die Menge {a, b, c} := {x | x³ = 2}. Die LFZ lautet dann:

u^6 - 4u³ + 4 = (u³ - 2)² = (u-a)² (u-b)² (u-c)²
Dr.Dr.Frosch
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Anmeldungsdatum: 20.07.2007
Beiträge: 320
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BeitragVerfasst am: 09 Nov 2008 - 15:54:22    Titel:

Ich muss sagen, ich kann mit der Umstellung immer noch nicht soviel anfangen. Die einzelnen Linearfaktoren habe ich in dem Bereich noch garnicht benutzt.
Könntest du das etwas genauer erläutern? Confused
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
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BeitragVerfasst am: 09 Nov 2008 - 16:01:49    Titel:

0 = u^6 - 4u³ + 4 = (u³ - 2)²

Naja, und die Gleichung u³ = 2 lässt sich ja einfach lösen; Stichwort: Einheitswurzeln. Was gibt's da noch groß zu sagen? Was bekommst du denn für Werte heraus? Vielleicht hilft es dir ja, eine andere Aufgabenstellung zu formulieren:

Finde für das Polynom f(u) = u^6 - 4u³ + 4 die Linear-Faktor-Zerlegung.
Dr.Dr.Frosch
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Anmeldungsdatum: 20.07.2007
Beiträge: 320
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BeitragVerfasst am: 09 Nov 2008 - 16:04:55    Titel:

Die 3 Lösungen von u³=2 hab ich ja schon berechnet wie gesagt (ein Ergebnis steht oben). Das soll aber laut den Lösungsvorschlägen falsch sein. Laut Lösung soll u.a. die Nullstelle 3.sqrt(4) dabei sein. Auf diesen Wert komme ich bei bestem Willen aber nicht. (also 3.sqrt(4) ist die einzige Lösung die ich hab)
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
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BeitragVerfasst am: 09 Nov 2008 - 16:10:06    Titel:

Ja, es ist ja auch falsch! Brauchst es bloß mal einzusetzen:

f(u) = u^6 - 4u³ + 4
f(3.wurzel(4)) = (4^(1/3))^6 - 4 * (4^(1/3))³ + 4 = 16 - 16 + 4 = 4 != 0

Was weiß ich, wo die im Lösungsbuch ihre Nullstellen herbekommen!?
Dr.Dr.Frosch
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Anmeldungsdatum: 20.07.2007
Beiträge: 320
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BeitragVerfasst am: 09 Nov 2008 - 16:17:14    Titel:

Puh, okay danke. Du hast meine Mathematische Weltanschauung vor Verwirrung bewahrt.
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