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Nullteilerfreiheit beweisen
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Shubi
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Anmeldungsdatum: 21.07.2008
Beiträge: 1193

BeitragVerfasst am: 09 Nov 2008 - 15:13:50    Titel: Nullteilerfreiheit beweisen

Zunächst die Vorgeschichte, der fettmarkierte Teil ist das eigentliche Problem.

Ich habe als Aufgabe alle Matrizen A (Element von M_22[K], K ist ein Körper) zu finden für die gilt: A²=0

Nun meine Idee:

[;\begin{pmatrix}a&b \\ c&d \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b \\ c&d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a^2+bc&ab+bd \\ ca+cd&bc+d^2 \end{pmatrix};]

Nun muss gelten:

I a²+bc=0
II b(a+d)=0
III c(a+d)=0
IV d²+bc=0

Aus II und III folgt: b=c
Aus I und IV folgt: a=d

Es gilt außerdem:
a²+bc=d²+bc=0, also a=d=0

Damit haben wir die Matrix

[;\begin{pmatrix}a&b \\ c&d \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b \\ c&d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}bc&0 \\ 0&bc \end{pmatrix};]

Jetzt muss aber bc ebenfalls gleich 0 sein. Also ist b=0 oder c=0. Da aber b=c gilt, sind beide gleich 0. Es folgt also, dass nur A²=0 gilt, wenn A=0 ist.

Nun meine Frage:

Stimmt das soweit? Kann ich in einem Körper immer folgern, dass aus ab=0 immer a=0 oder b=0 folgt?

Diese Aussage verliert an Gültigkeit, sobald wir nur noch einen kommutativen Ring haben:

Betrachten wir z.B. die Matrix [;A\in M_{22}[F_4];], dann gilt:

[;\begin{pmatrix}0&2 \\ 2&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&2 \\ 2&0 \end{pmatrix}=0;]

Mein Überlegung stüzt sich also auf der Tatsache, dass in einem Körper aus ab=0 immer a=0 oder b=0 folgt.

Hat jemand eine Idee, wie ich das beweisen kann?

Meine Gedanken bisher:

Ein Körper unterscheided sich ja in sofern von einem Ring, dass jedes Element außer 0 in (K,*) invertierbar ist. Eine direkte Folgerung daraus ist, dass 1!=0 in einem Körper gilt. Die nächste Überlegung wäre nun:

ab=0

Wir multiplizieren mit den inversen Element von ab auf beiden Seiten, dann folgt:

ab*(b^-1a^-1)=0

1=0

Die Annahme a und b wären invertierbar ist damit falsch, also ist eines der beiden Elemente nicht invertierbar - also 0.

Irgendwie habe ich hier das Gefühl, dass das als Beweis nicht ausreicht. Mag das mal wer kontrollieren? Smile
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 09 Nov 2008 - 16:43:51    Titel:

Ich erkenne nicht, wie du deine ganzen Folgerungen schließt. Deine Gleichungen lösen zwar die angegebenen Bedingungen, sind jedoch nicht notwendig dafür, dass die Bedingungen erfüllt sind.



Dein Beweis zur Nullteilerfreiheit eines Körpers ist korrekt, da 1 ≠ 0 ein Teil der Definition ist.
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