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Grenzwert bestimmen
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kulturfenster
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Anmeldungsdatum: 28.01.2007
Beiträge: 348
Wohnort: Nerdpol

BeitragVerfasst am: 09 Nov 2008 - 22:14:05    Titel: Grenzwert bestimmen

Guten Abend,
Ich muss bei folgender Funktion den Grenzwert bestimmen.

f(x) = lim sqrt(2+x²) / x, für x gegen 0

Leider stimmt mein erhaltenes Resultat nicht mit dessen des Rechners überein. Wäre super, wenn jemand ein Auge drauf werfen könnte!

f(x ) = lim sqrt(...) *x / x²

danach mit Regel de l'Hopital:
= lim [ sqrt(...) + x * x/ sqrt(...)] / 2x

= lim [ sqrt(...) + x² / sqrt(...)] / 2x

= lim [ 2x / 2*sqrt(...) + 2x* sqrt(...) - 2x³ / 2 * sqrt(...) ] / 2

= lim x / 2* sqrt(...) + x sqrt(...) - x³ / 2* sqrt(...)

= 0, weil ich kann nun ein x ausklammern, dass dann gegen Null geht.

der Rechner sagt mir aber, das Resultat sei "undef".

Wo liegt der Fehler?
Jockelx
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Anmeldungsdatum: 24.06.2005
Beiträge: 3596

BeitragVerfasst am: 09 Nov 2008 - 23:10:13    Titel:

Naja, das sieht man doch nun wirklich sofort, dass das gegen unendlich gehen muss.
Ich weiss gar nicht, was du da noach zeigen willst. Ziehe vielleicht x^2 aus der Wurzel (also x) und kürze ums noch deutlicher zu machen.
kulturfenster
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Anmeldungsdatum: 28.01.2007
Beiträge: 348
Wohnort: Nerdpol

BeitragVerfasst am: 10 Nov 2008 - 09:09:46    Titel:

hmm, ich sehe das leider nicht.

wenn ich folgendes habe:

lim x*u + x*v + x*w, für x gegen null.

dann strebt das doch gegen Null !?

eigentlich habe ich doch das gleich oben auch, oder nicht!?
Manusdeorum
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Anmeldungsdatum: 25.01.2007
Beiträge: 934
Wohnort: Essen

BeitragVerfasst am: 10 Nov 2008 - 09:37:10    Titel:

Man "sieht" es etwa wie folgt:


sqrt(2+x^2) geht gegen sqrt(2) für x-->0, der untere Term von rechts gegen 0.


=> Kann nur gegen unendlich gehen.

Den rechnerischen Fehler müsste ich aber erst noch suchen.
kulturfenster
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Anmeldungsdatum: 28.01.2007
Beiträge: 348
Wohnort: Nerdpol

BeitragVerfasst am: 10 Nov 2008 - 10:27:14    Titel:

Zitat:
sqrt(2+x^2) geht gegen sqrt(2) für x-->0
das ist mir klar.

Zitat:
der untere Term von rechts gegen 0.
was meinst du damit? von -unendlich gegen 0?

Zitat:
=> Kann nur gegen unendlich gehen.
wieso?
Manusdeorum
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Anmeldungsdatum: 25.01.2007
Beiträge: 934
Wohnort: Essen

BeitragVerfasst am: 10 Nov 2008 - 11:28:08    Titel:

Ich betrachte nur den rechtsseitigen Grenzwert, zunächst mal...

von rechts gegen 0: Der Wert wird immer kleiner ist aber im positiven Bereich.


Das heißt, der Zähler strebt gegen eine positve feste Zahl (sqrt(2)) und der Nenner wird immer und immer kleiner (bleibt aber positiv). --> Verhält sich wie 1/x --> geht gegen +oo
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