DGL des mathematischen Pendels lösbar?

Robotkiller · Newbie Anmeldungsdatum: 10.11.2008 Beiträge: 34

Hallo,

ich bin kein Physiker und habe auch sehr wenig Ahnung davon. Trotzdem bräuchte ich mal eine Lösung für die DGL des mathematischen Pendels:

phi..(t) = -g/l *sin(phi(t))

Was ich also suche ist eine Funktion phi(t), die die obige Gleichung erfüllt und mir für ein gegebenes phi(0) und phi.(0) angibt, bei welchem Winkel das Pendel zum Zeitpunkt t stehen wird (und am besten auch noch die Winkelgeschwindigkeit phi.(t)).

Ich habe bereits an vielen Stellen nach der Antwort gesucht und was ich immer finde ist die Lösung für kleine Winkel, wo man sin(phi) = phi annehmen kann und sich daraus eine harmonische Schwingung ergibt. Die Lösung ist für mich leider nicht ausreichend. :/

Ist es möglich die unvereinfachte DGL zu lösen?
Wenn ja, wie sieht die Lösung aus? Wo finde ich sie?
Kennt ihr irgendwelche Quellen, die sich damit befassen?

Vielen Dank
Robotkiller

Freunde der Sonne · Verfasst am: 10 Nov 2008 - 17:58:24 Titel:

Deine Gleichung ist doch gar keine Differentialgleichung, zumindest kann ich keine Ableitung da drin sehen...

Meinst du vllt. d/dt (f(t)) = -l/g sin(f(t)) ???

Denn wenn nicht, dann würde ich sagen, das es keine Lösung für deine Gleichung gibt, denn mir ist noch keine Funktion untergekommen, die f(t) = sin(f(t)) erfüllen würde für alle t...
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Robotkiller · Newbie Anmeldungsdatum: 10.11.2008 Beiträge: 34

Mit phi..(t) war die zweite Ableitung von phi(t) nach der Zeit gemeint (die Punkte ..). Sorry, dass hätte ich wohl klar machen sollen. Also die selbe DLG in präziserer Schreibweise:

d^2/dt^2 (phi(t)) = -g/l sin(phi(t))

Freunde der Sonne · Verfasst am: 10 Nov 2008 - 18:19:19 Titel:

Ok, also dann würde ich sagen (als Physik-Student im 3. Semester), dass die Sache nicht mehr elementar lösbar ist.

Das Problem ist halt, dass diese DGL nicht linear ist und man dann ganz schnell ein chaotisches Verhalten des Systems kriegt, welches empfindlich von den jeweiligen Anfangsbedingungen abhängt.

Das wird auch schnell klar, wenn man sich das mathematische Pendel vorstellt und es um große Winkel auslenkt.

Um vllt. eine bessere Näherung zu haben, kannst du ja versuchen den Sinus durch Taylor zu approximieren mit der Formel:

sin(x) = x - 1/3! * x^3 + 1/5! * x^5 + Terme noch höherer Ordnung

Damit bleibt das System zwar immer noch nichtlinear, aber vlt. findet man für Polynome eher eine Lösung. Musst du mal schauen, auf jeden Fall ist die obige Näherung schon ziemlich genau, selbst wenn du den 3. Term weglässt.
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Robotkiller · Newbie Anmeldungsdatum: 10.11.2008 Beiträge: 34

Ja danke, das ist schon mal ein guter Ansatz. Ein Polynom zu integrieren müsste machbar sein. Smile

Das mit dem chaotischen Verhalten glaube ich nicht so ohne weiteres, weil es ja ein Pendel ist, das auf einer festen Bahn sein Ding tut (pendeln eben). Das Phasendiagramm sieht ja auch sehr regelmäßig aus:

http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/kurse/kurs16/seite20.html

Aber wie auch immer, da ich nur den Breich von 0 bis PI/2 brauche, kann ich es bestimmt gut durch ein Taylor Polynom annähern, wie du gesagt hast. Danke für den Vorschlag!

Freunde der Sonne · Verfasst am: 10 Nov 2008 - 18:49:47 Titel:

Naja, auf jeden Fall ab Winkel größer pi/2 wirst du mir bestimmt das chaotische Verhalten glauben. Wink

Wie es in dem Bereich zwischen pi/2 und "kleine" Winkel aussieht, weiß leider ich nicht so recht... Sad

Meinst du, dass mit Taylor klappt? Habe grade irgendwie selbst Zweifel dran, wenn ich mir die DGL dann angucke... Confused

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Knalltüte · Verfasst am: 10 Nov 2008 - 19:08:19 Titel:

exakt lösbar ist es nicht, musst mal unter dem Stichwort anharmonische Schwingung u.Ä. suchen

edit: bevor Haare gespalten werden, mit nicht exakt meine ich, dass keine „schöne“ Gleichung rauskommt, sondern eine Reihe oder ein Integral Smile

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StudentT · Verfasst am: 11 Nov 2008 - 22:44:18 Titel:

Hallo,

also da gebe ich euch recht! Wenn das Integral auf

http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/kurse/kurs16/seite20.html

in der Zeile über dem Bild mit dem Phasenporträt lösbar wäre, hätten die es auf dieser Seite wahrscheinlich auch gemacht!

Gruß,
Markus
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Robotkiller · Newbie Anmeldungsdatum: 10.11.2008 Beiträge: 34

Freunde der Sonne · Verfasst am: 12 Nov 2008 - 17:52:47 Titel:

Robotkiller · Newbie Anmeldungsdatum: 10.11.2008 Beiträge: 34

Oh ach so! Das Mißverständnis liegt darin, dass ich mir ein perfektes mathematisches Pendel mit Stange statt Faden vorstelle. Die Stange drück und zieht, sodass das Pendel auch als inverses Pendel funktioniert. Bei einem Fadenpendel hast du natürlich recht. Der fällt runter und zappelt.

Knalltüte · Verfasst am: 12 Nov 2008 - 20:00:52 Titel:

Nur weil das Fadenpendel zappelt, heißt aber nicht, dass es auch chaotisch ist. Letzlich würde das zappeln ja nur phasenweise freien Fall bedeuten.
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Freunde der Sonne · Verfasst am: 12 Nov 2008 - 20:15:37 Titel:

Knalltüte · Verfasst am: 12 Nov 2008 - 23:14:27 Titel:

hier steht was zur Lösung drin http://www.physikpraktika.uni-hd.de/versuche/14_mathematischesPendel_01.pdf
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