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Alle möglichen UVR
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cipoint
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Anmeldungsdatum: 08.11.2006
Beiträge: 489

BeitragVerfasst am: 17 Nov 2008 - 23:11:58    Titel: Alle möglichen UVR

Gibt es einen Lösungsweg, der bei dieser Fragestellung immer passt?

Ich suche alle möglichen Untervektorräume des Vektorraums F_13 x F_13 x F_13.

F_13 x F_13 ist jedenfalls ein UVR von V. F_13 auch. Zusätzlich ist V selbst ein UVR von V. Somit habe ich drei Untervektorräume.

Was ist aber z.B. mit dem Körper F_7? Repräsentiert der Vektorraum über F_7 einen UVR vom Vektorraum über F_13?
F_7 liegt ja in F_13. Mir fallen keine Axiome ein, die verletzt werden, sicher bin ich mir aber trotzdem nicht.
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24257

BeitragVerfasst am: 18 Nov 2008 - 00:21:37    Titel: Re: Alle möglichen UVR

cipoint hat folgendes geschrieben:

F_7 liegt ja in F_13.


Hm?

Das möchte ich aber mal bezweifeln...


Übrigens: Wann sind zwei (endlich-dimensionale) Vektorräume isomorph?


Cyrix
cipoint
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Anmeldungsdatum: 08.11.2006
Beiträge: 489

BeitragVerfasst am: 18 Nov 2008 - 14:03:17    Titel: Re: Alle möglichen UVR

cyrix42 hat folgendes geschrieben:
cipoint hat folgendes geschrieben:

F_7 liegt ja in F_13.


Hm?

Das möchte ich aber mal bezweifeln...

Warum nicht? Alle Elemente aus F_7 liegen in F_13 und F_7 ist abgeschlossen gegenüber Add./Mul. Warum ist es kein Unterkörper von F_13?
edit: Oje, in F_13 gelten ja andere Rechenregeln! Ok, danke!

cyrix42 hat folgendes geschrieben:

Übrigens: Wann sind zwei (endlich-dimensionale) Vektorräume isomorph?


Wenn ihre Dimensionen gleich sind. Willst du darauf hinaus, dass ein UVR von V isomorph zu V sein muss?
cipoint
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Anmeldungsdatum: 08.11.2006
Beiträge: 489

BeitragVerfasst am: 18 Nov 2008 - 19:29:52    Titel:

Ok, die Dimension des UVR von V muss gleich der von V sein.

Ist U={(x,y):ax+by=0} ein UVR? Ich sage ja.
Scheinbar wiederholen sich die Mengen irgendwann, also gibt es endlich viele UVR. Ich denke, dass ich es irgendwie hinbekomme, alle UVR anzugeben, solange die Einschränkung der Menge U nur das Muster ax+by=0 hat.

Es kann aber ja sein, dass es ganz "verrückte" Einschränkungen gibt, auf die man ohne weiteres nicht kommt. Im Prinzip gibt es unendlich viele, wenn ich sage, dass a,b€R. Die Festlegung a,b€Z scheint sinvoll zu sein. Aber warum? Warum darf a,b nur Element von Z sein?

Oder darf a,b sogar NUR aus F_13 sein?
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
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BeitragVerfasst am: 18 Nov 2008 - 19:42:34    Titel:

Es ist wohl mit Sicherheit so, dass der zugrundeliegende Körper F[13] sein soll und nicht R...

Was du angegeben hast, ist nicht mal eine Teilmenge von V, geschweige dem ein UVR.

Es sind endlich viele UVR und - so viel kann ich dir wohl sagen - es ist genau ein 0-dimensionaler und ein 3-dimensionaler. Alle andere (und das sind in der Tat nicht wenig) sind 1- und 2-dimensional. Diese haben folgende allgemeine Formen:

1-dimensional:
[; \left{ p \ \left( x_1, x_2, x_3 \right) \quad \mid \quad p, x_1, x_2, x_3 \in \mathbb{F}_{13} \right} ;]

2-dimensional:
[; \left{ p \ \left( x_1, x_2, x_3 \right) \ + \ q \ \left( y_1, y_2, y_3 \right) \quad \mid \quad p, q, x_1, x_2, x_3, y_1, y_2, y_3 \in \mathbb{F}_{13} \right} ;]

Die Frage ist nur, welche von denen sind gleich und welche nicht.
cipoint
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Anmeldungsdatum: 08.11.2006
Beiträge: 489

BeitragVerfasst am: 18 Nov 2008 - 20:33:42    Titel:

Annihilator hat folgendes geschrieben:
Es ist wohl mit Sicherheit so, dass der zugrundeliegende Körper F[13] sein soll und nicht R...

Was du angegeben hast, ist nicht mal eine Teilmenge von V, geschweige dem ein UVR.


Oh, sorry. Habe mich auf die tatsächliche Aufgabe bezogen. Die lautet etwas anders als die, die ich hier gestellt habe. Mir geht es ums Prinzip und nicht um die tatsächliche Lösung ...

Die eigentliche Aufgabe lautet: Wieviele Unterräume hat der F[11]-Vektorraum F[11]xF[11]?

Annihilator hat folgendes geschrieben:
Es sind endlich viele UVR und - so viel kann ich dir wohl sagen - es ist genau ein 0-dimensionaler und ein 3-dimensionaler. Alle andere (und das sind in der Tat nicht wenig) sind 1- und 2-dimensional. Diese haben folgende allgemeine Formen:

1-dimensional:
[; \left{ p \ \left( x_1, x_2, x_3 \right) \quad \mid \quad p, x_1, x_2, x_3 \in \mathbb{F}_{13} \right} ;]

2-dimensional:
[; \left{ p \ \left( x_1, x_2, x_3 \right) \ + \ q \ \left( y_1, y_2, y_3 \right) \quad \mid \quad p, q, x_1, x_2, x_3, y_1, y_2, y_3 \in \mathbb{F}_{13} \right} ;]

Die Frage ist nur, welche von denen sind gleich und welche nicht.


Ich bin soweit (bezogen auf die tatsächliche Aufgabe):
[; U_{ab}=\left\{(x,y):ax-by=0\right\}\ mit\ a,b,x,y\in F_{11};]
Nun muss ich ein Muster finden, dass mir sagt, welche Kombinationen von a und b die gleiche Menge U ergeben, stimmt's?

Kleine Frage nebenbei: [;U_{00}=V;]
Stimmt die Aussage? Wenn a,b Null sind, kann ich ja für x,y beliebige Elemente aus F[11] einsetzen, somit ergibt sich der gesamte Vektorraum über F[11], oder?

edit: Damit ich es richtig verstehe: Sei V ein VR über R². Ist U={(x,0): x€R} ein 1-dimensionaler UVR von V? Ich würde sagen nein, da (x,0) das kartesische Produkt von R² ist.
Wie sieht dann ein 1-dimensionaler UVR von V aus? Einfach U={x: x€R}?
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
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BeitragVerfasst am: 18 Nov 2008 - 21:27:23    Titel:

Schön der Reihe nach! Du bringst da, fürchte ich, ein bisschen was durcheinander bzw. dir ist die Definition eines Vektorraums nicht hundert-prozentig klar.

Definition eines Vektorraums

Am Beispiel: Wie wählen als Körper K die reellen Zahlen R. Die abel'sche Gruppe ist [; \left( \mathbb{R}^2, + \right) ;] also die Menge der reellen Zahlenpaare mit der komponenten-weise Addition als Verknüpfung. Als Skalar-Multiplikation [; \ast \quad : \quad \mathbb{R} \times \mathbb{R}^2 \quad \to \quad \mathbb{R}^2 ;] wird definiert:

[; r \ast \left( u, v \right) = \left( r \ast u, r \ast v \right) ;]

Es lässt sich leicht zeigen, dass diese Definition die geforderten drei/vier Bedingungen erfüllt. Meist ist die Gruppe eines Vektorraums eine Trägerstruktur einer anderen Struktur. Heißt, dass wir die 2-Tupel über den reellen Zahlen oder die Polynome dritten Grads über den komplexen Zahlen betrachten und meist ist diese "Symbionden"-Struktur genau der Körper über dem der Vektorraum definiert ist, aber das muss nicht immer so sein. Wir hätten auch den R-Vektorraum [; \left( \mathbb{C}^3, + \right) ;] betrachten können, mit der Skalar-Multiplikation [; r \ast \left( u, v, w \right) = \left( r \ast u, r \ast v, r \ast w \right) ;]. Das ist auch ein Vektorraum; der Körper sind die reellen Zahlen, aber die Gruppe hat als Grundmenge die komplexen Zahlen-Tripel. Wie dem auch sei...

Eine Teilmenge U eines K-Vektorraums V bildet die Grundmenge eines Untervektorraums von V, wenn U selbst einen Vektorraum bildet. Das lässt sich auf folgende Bedingung vereinfachen (woraus auch folgt, dass der Nullvektor immer enthalten sein muss):

[; \left( \forall u_1, u_2 \in U, k \in \mathbb{K} \right) \left( u_1 + k \ast u_2 \in U \right) ;]

Schauen wir uns nun dein Beispiel an: U := {(x, 0) | x € R}
Seien (u, 0) und (v, 0) Elemente von U und r eine beliebige reelle Zahl. Dann gilt:

[; (u, 0) + r \ast (v, 0) = (u + r \ast v, 0) ;]

Tja, da u + r*v auch eine reelle Zahl ist, gehört (u + r*v, 0) offensichtlich auch zu U und deswegen bildet U einen (1-dimensionalen) UVR.
cipoint
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Anmeldungsdatum: 08.11.2006
Beiträge: 489

BeitragVerfasst am: 19 Nov 2008 - 20:16:28    Titel:

Ich bin nun auf 14 UVRs gekommen. Den ganzen Beweis hier zu posten kann ich aus Zeitmangel nicht, aber der scheint recht schlüssig zu sein. Habe einiges dabei gelernt, deshalb danke für die Hilfe!
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