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Gesucht ist eine ganzrationale Funktion
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Tina22
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BeitragVerfasst am: 19 Apr 2005 - 18:46:13    Titel: Gesucht ist eine ganzrationale Funktion

Aufgabe 1

Eine ganzrationale Funktion 4. Grades besitzt bei x=0 ein Extremum und bei x=-1 einen Sattelpunkt. Die Tangente bei x=1 hat die Gleichung
y(x)= 48x - 48.
Wie lautet die Funktionsgleichung?

Aufgabe 2

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades hat im Ursprung und im Punkt P(2|4) jeweils ein Extremum.
Wie lautet die Funktionsgleichung?
sambalmueslie
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Anmeldungsdatum: 18.03.2005
Beiträge: 555

BeitragVerfasst am: 19 Apr 2005 - 19:32:22    Titel:

Eine ganzrationale Funktion 4. Grades besitzt bei x=0 ein Extremum und bei x=-1 einen Sattelpunkt. Die Tangente bei x=1 hat die Gleichung
y(x)= 48x - 48.
Wie lautet die Funktionsgleichung?

f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e
f'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d
f''(x) = 12ax^2 + 6bx + 2c
f'''(x) = 24ax + 6b

lokale Extrema:
x = 0
f'(0) = 0 = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d
d = 0

x=-1
f'(-1) = 0 = -4a + 3b - 2c

Sattelpunkt: f''(-1) = 0
0= 12a - 6b + 2c

f'(1) = 48 = 4a + 3b + 2c




Zusammenfassung:
0 = -4a + 3b - 2c
0= 12a - 6b + 2c
48 = 4a + 3b + 2c

a = 3
b = 8
c = 6
d = 0

f(x) = 3x^4 + 8x^3 + 6x^2 + e

y(1)= 48x - 48 = 0
P(1|0)
f(1) = 0 = 3 + 8 + 6 + e
e = - 17

f(x) = 3x^4 + 8x^3 + 6x^2 - 17
sambalmueslie
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Anmeldungsdatum: 18.03.2005
Beiträge: 555

BeitragVerfasst am: 19 Apr 2005 - 19:36:36    Titel:

Aufgabe 2

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades hat im Ursprung und im Punkt P(2|4) jeweils ein Extremum.
Wie lautet die Funktionsgleichung?

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
P(2|4)
f(2) = 4 = 8a + 4b + 2c + d
Q(0|0)
f(0) = 0 = 0a+0b+0c + d
d = 0

f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c
f'(0) = 0 = 3a*0 + 2b*0 + c
c = 0
f'(2) = 0 = 12a + 4b

Zusammenfassung:
d = 0
c = 0
4 = 8a + 4b
0 = 12a + 4b
b = -3a

4 = 8a - 12a
4 = -4a
a = -1

0 = -12 + 4b
12 = 4b
b = 3

f(x) = -x^3 + 3x^2
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