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[Uni] LinAlg - Isomorphismus
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Klebeband
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Anmeldungsdatum: 09.01.2007
Beiträge: 751

BeitragVerfasst am: 19 Nov 2008 - 13:58:50    Titel: [Uni] LinAlg - Isomorphismus

Kurze Frage:

Zitat:
Satz 4: Klassifikationssatz von Vektorräumen

V ~=~ W <=> dim(V) = dim(W)

(V ist isomorph zu W)

Jetzt hab ich ne Abbildung
f : IR² -> IR²
v -> A*v

mit A ist 2x2 Matrix mit ([1, 1], [4, 1,])

Fragestellung: Ist f ein Isomorphismus?

Ich kann jetzt wahrscheinlich nicht sagen, dass jede Abbildung IR² -> IR² ein Isomorphismus ist, sondern lediglich dass IR² isomorph zu IR² ist, oder?
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24257

BeitragVerfasst am: 19 Nov 2008 - 14:14:36    Titel:

ja, und ja. Smile

Cyrix
Klebeband
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Anmeldungsdatum: 09.01.2007
Beiträge: 751

BeitragVerfasst am: 19 Nov 2008 - 14:29:16    Titel:

Es genügt ja zu zeigen, dass f bijektiv ist, was ja in gewisser Weise klar ist.

Jeder Vektor v hat nur eine Darstellung in f(v).


Zitat:
Es sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Zeigen Sie:
(i) Ist f : V → V eine lineare Abbildung mit f ◦ f = f, so gilt V = ker(f) + im(f) und ker(f) ∩ im(f) = 0.
Hinweis: Für v ∈ V gilt v = v − f(v) + f(v).


Kann mir hier noch jemand nen zweiten Tipp geben?
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
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BeitragVerfasst am: 19 Nov 2008 - 14:29:47    Titel:

Ich hätte dazu mal eine Frage: Ist auch der Vektorraum der komplexen Polynome vom Grad höchstens 3 isomorph zum Vektorraum der reellen Quadrupel? Ich mein: Die VR haben die gleiche Dimension, aber sind über verschiedenen Körpern definiert. Gut - jetzt ist R noch gleichmächtig zu C, aber was, wenn ich noch den Vektorraum der Quadrupel mit Komponenten aus F[23] nehme? Kann doch kaum sein, dass es eine bijektive Abbildung zwischen denen gibt oder hab ich da was grundsätzlich falsch verstanden?
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24257

BeitragVerfasst am: 19 Nov 2008 - 14:52:19    Titel:

Man kann natürlich nur VRe über dem gleichen Grundkörper betrachten. Wie sollte denn sonst eine lineare Abbildung zwischen diesen definiert werden?

Ein VR-Isomorphismus ist eine bijektive lineare Abbildung.


Cyrix
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
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BeitragVerfasst am: 19 Nov 2008 - 15:48:18    Titel:

Also müsste der Satz komplett heißen:

Sei V ein K-Vektorraum und W ein L-Vektorraum. Dann gilt:

(V ~= W) <--> ((K = L) und (dim(V) = dim(W)))

Wobei ~= die VR-Isomorphie meint. Richtig?
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24257

BeitragVerfasst am: 19 Nov 2008 - 16:02:51    Titel:

Jo.

Cyrix
Klebeband
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Anmeldungsdatum: 09.01.2007
Beiträge: 751

BeitragVerfasst am: 19 Nov 2008 - 19:00:28    Titel:

Zitat:
Es sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Zeigen Sie:
(i) Ist f : V → V eine lineare Abbildung mit f ◦ f = f, so gilt V = ker(f) + im(f) und ker(f) ∩ im(f) = 0.
Hinweis: Für v ∈ V gilt v = v − f(v) + f(v).


Kann man das vllt. mit nem Widerspruch machen?
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