Studium, Ausbildung und Beruf
 StudiumHome   FAQFAQ   RegelnRegeln   SuchenSuchen    RegistrierenRegistrieren   LoginLogin

Ungewöhnliches Extremalproblem
Gehe zu Seite 1, 2  Weiter
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Ungewöhnliches Extremalproblem
 
Autor Nachricht
queer
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 27.11.2008
Beiträge: 15
Wohnort: Berlin

BeitragVerfasst am: 27 Nov 2008 - 18:51:02    Titel: Ungewöhnliches Extremalproblem

Hallo, ich bin neu hier und hoffe mit diesem Eintrag nichts falsch zu machen. Mir konnte dieses forum bisher immer gut weiterhelfen auch ohne aktiver user zu sein, doch irgendwann ist immer das erste mal...

Hier mein Problem: Ich habe die funktionen f(x)=1/a(x²) und g(x)=-ax²+1 gegeben. Diese beiden graphen schließen eine fläche A ein. Wie muss nun a gewählt werden, damit die fläche A maximal wird? (a ist größer null)

Ich habe zunächst mal die schnittpunkte berechnet: x1/2=+/-wurzel aus 1/(a+1), habe im anschluss die differenzfunktion d(x)=f(x)-g(x) integriert und meine schnittpunkte als obere und untere grenze eingesetzt. Ich habe erhalten:
A/2=-a/3*(wurzel aus 1/(a+1))^3+(wurzel aus 1/(a+1))-1/3a*(wurzel aus1/(a+1))^3

Doch ich kann damit auch erstmal nicht wirklich was anfangen, denn ich muss doch über die erste ableitung(aber welche funktion?) zu den extrema kommen.

Kann mir bitte jemand einen kleinen tipp geben oder mich nötigenfalls bei dem bis hierher fabrizierten rechnungen berichtigen?


Danke im Voraus
OldMaggie
Full Member
Benutzer-Profile anzeigen
Full Member


Anmeldungsdatum: 24.05.2007
Beiträge: 311
Wohnort: Rheinland-Pfalz

BeitragVerfasst am: 27 Nov 2008 - 19:02:10    Titel:

Deine Vorgehensweise ist richtig (habe die Rechnung allerdings nicht überprüft).
Da der Flächeninhalt maximal werden soll, musst du jetzt die Flächeninhaltsfunktion ableiten und Null setzen. du erhältst Lösungen für a. Feststellen, welche Lösung das Maximum ist und ggf. Randextrema beachten.

OldMaggie
mathefan
Valued Contributor
Benutzer-Profile anzeigen
Valued Contributor


Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 27 Nov 2008 - 19:52:37    Titel:

.
Zitat:
habe die funktionen f(x)=(1/a)*x² und g(x)=-ax²+1

mal die schnittpunkte berechnet: x1/2=+/-wurzel aus 1/(a+1) Sad

da hast du den ersten Fehler gemacht

Zitat:
die differenzfunktion f(x)-g(x) integriert

.. und da den zweiten..
Tipp: die obere Begrenzung der Fläche wird durch g(x) gegeben sein..


noch ein Tipp:
wenn du das dann richtiggestellt hast, wirst du sicher
die Fläche A(a) mit .. 2* Int (g(x)-f(x))*dx .. in den Grenzen von 0 bis x2 berechnen?

um das a zu finden, für das A(a) extremal wird, solltest du wohl anschliessend
die Ableitung von A(a) nach a untersuchen?. Wink

.
queer
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 27.11.2008
Beiträge: 15
Wohnort: Berlin

BeitragVerfasst am: 27 Nov 2008 - 23:00:05    Titel:

Danke für die schnellen antworten!

Habe nun als schnittstellen x1/2=+-wurzel(a/a+1).

Ich habe mich verschrieben, integriert wurde g(x)-f(x), nun erhalte ich die funktion
A(a) = 2*[-a/3*(wurzel(a/a+1))^3+(wurzel(a/a+1))-1/3a*(wurzel(a/a+1))^3]

Hier muss ich noch mal nach dem ableiten fragen_

Bsp: t(x)= (wurzel(a/a+1))^3=((a/a+1)^(1/2))^3=(a/a+1)^(1,5) ?
t´(x)=1,5*(1/(a+1)^2)*(a/a+1)

Ist denn die ableitung des Beispiels in ordnung?
mathefan
Valued Contributor
Benutzer-Profile anzeigen
Valued Contributor


Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 28 Nov 2008 - 00:09:14    Titel:

.
Zitat:

Bsp: t(x) =(a/(a+1))^(1,5)

t´(x)=1,5*(1/(a+1)^2)*(a/a+1) Sad

Ist denn die ableitung des Beispiels in ordnung?

nein, überhaupt nicht ..

t(a) = (a/(a+1))^(1,5) ...
dt/da =??
du musst hier die Kettenregel verwenden

z= a/(a+1) ..... t(z)= z^(1,5)

dz/da = ?? <- hier brauchst du die Quotientenregel ..

dt/dz= (1,5)*z^(0,5)

=>
dt/da = (dt/dz)*(dz/da) ... ; rücksubstituieren .. fertig

.
Tiamat
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 25.01.2008
Beiträge: 2092
Wohnort: Aurich

BeitragVerfasst am: 28 Nov 2008 - 08:12:17    Titel:

Mal eine bescheidene Frage: Wie bist du auf die Schnittpunkte der Funktionen gekommen, d.h. auf +/- Wurzel(a/a+1)?

Ich habs folgendermaßen gerechnet:

[;-ax^2 +1=\frac{1}{a}x^2;]
[;-ax^2-\frac{1}{a}x^2+1=0;]
[;(-a-\frac{1}{a})x^2 =(\frac{-a^2-1}{a})x^2=-1;]
[;x^2=\frac{-1}{\frac{-a^2-1}{a}}=\frac{a}{a^2+1};]
[;x=\pm\sqrt{\frac{a}{a^2+1}};]

Wo ist nun der Fehler, bei mir oder bei dir? Ich finde bei mir jedenfalls keinen (lasse mich von Mathefan aber gerne eines Besseren belehren) Wink
queer
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 27.11.2008
Beiträge: 15
Wohnort: Berlin

BeitragVerfasst am: 28 Nov 2008 - 20:44:19    Titel:

Also dt/da=t´(a)

t´(a)=(dt/dz)*(dz/da)

dt/dz=1,5z^(0,5) =äußere ableitung

dz/da=1/(a+1)^2 =innere ableitung

t´(x)= innere*äußere ableitung
=(1,5z^(0,5))*(1/(a+1)²)=(1,5z^(0,5))/(a+1)²

rücksubstituiert= 1,5a/(a+1)³

Richtig?

@ tiamat

[;ax^{2}+\frac{1}{a}x^{2}=1;]
[;x^{2}(a+\frac{1}{a})=1;]
[;x^{2}=\frac{1}{a+\frac{1}{a}};]
[;x^{2}=\frac{a}{a+1};]
[;x_{1/2}=+-\sqrt{\frac{a}{a+1}};]

hoffe mal das das so stimmt Question


@mathefan

Ich fange mit der eigentlichen aufgabe wohl besser erst an, wenn die o.g. ableitung korrekt ist!

Und danke für die aufgebrachte mühe
mathefan
Valued Contributor
Benutzer-Profile anzeigen
Valued Contributor


Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 28 Nov 2008 - 23:20:27    Titel:

.
1)
Zitat:
hoffe mal das das so stimmt

NEIN .. das von Tiamat ist richtig..
(du musst deinen (Doppel-)Bruch in der drittletzten Zeile erweitern mit a...)

2)
Zitat:
t(a) = (a/(a+1))^(1,5)
z= a/(a+1) ..... t(z)= z^(1,5)

t´(a)= innere*äußere ableitung
=(1,5z^(0,5))*(1/(a+1)²)=(1,5z^(0,5))/(a+1)² <- noch richtig

rücksubstituiert= 1,5a/(a+1)³ <- falsch

Smile
queer
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 27.11.2008
Beiträge: 15
Wohnort: Berlin

BeitragVerfasst am: 28 Nov 2008 - 23:57:46    Titel:

Lasst mal gut sein, ich habe wieder einen fehler eingebaut und bei der ableitung der flächeninhaltsfunktion komme ich ganz durcheinander!

Ich habe A(a) mal in einen plotter eingegeben, für a=0,64 sollte die fläche maximal werden.

Danke trotzdem Smile
mathefan
Valued Contributor
Benutzer-Profile anzeigen
Valued Contributor


Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 29 Nov 2008 - 00:23:44    Titel:

.
Zitat:
Ich habe A(a) mal in einen plotter eingegeben,
für a=0,64 Sad sollte die fläche maximal werden.

.. sorry, aber das stimmt wohl auch wieder nicht ..

Smile
Beiträge der letzten Zeit anzeigen:   
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Ungewöhnliches Extremalproblem
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde
Gehe zu Seite 1, 2  Weiter
Seite 1 von 2

 
Gehe zu:  
Du kannst keine Beiträge in dieses Forum schreiben.
Du kannst auf Beiträge in diesem Forum nicht antworten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht bearbeiten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht löschen.
Du kannst an Umfragen in diesem Forum nicht mitmachen.

Chat :: Nachrichten:: Lexikon :: Bücher :: Impressum