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Konvergenz
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Jockelx
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BeitragVerfasst am: 20 Apr 2005 - 17:56:26    Titel:

Nochmal ontopic:

Wenn der Grenzwert der Folge nicht benötigt wird, solltest du
mit dem Quotientenkriterium arbeiten.

Jockel
Jana2009
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Anmeldungsdatum: 11.04.2005
Beiträge: 32
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 20 Apr 2005 - 17:56:54    Titel:

@gauss:

Das mit dem Integral is ja ne schöne Lösung, allerdings kann ich damit schlecht kommen, wenn Integrale noch gar nich dran sind, oder?

Vielleicht hilft ja ein Bsp. beim Verständnis: "lim(n->unendlich) 1/n=0. Sei e (epsilon) > 0. 1/n<e erreicht man für 1/e < n. Setzt man n(e) := [1/e]+1, so gilt für alle n >= n(e):
n>=n(e)=[1/e]+1>1/e => n>1/e => 1/n<e. "

So in der Art würd ich das gern machen.. Kann das aber irgendwie nich auf 1/n² anwenden..
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 20 Apr 2005 - 17:58:06    Titel:

Das Quotientenkriterium gibt in diesem Fall keine Auskunft darüber ob die
Folge konvergent ist.
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 20 Apr 2005 - 18:06:22    Titel:

Damit hast du nur bewiesen, dass die Folge 1/n beschränkt ist. Das sie konvergent ist fehlt noch der Kommentar ,dass Sie streng monoton steigend ist.

Sonst müsstest du eine Folge g(n) finden mit g(n)>1/n^2 die
beschränkt ist und dann das Majorantenkriterium.

Mir sind jedenfalls keine einfacheren wege bekannt wie man die Konvergenz nachweisst.
Jockelx
Gast






BeitragVerfasst am: 20 Apr 2005 - 18:10:18    Titel:

"Das Quotientenkriterium gibt in diesem Fall keine Auskunft darüber ob die Folge konvergent ist."

Soweit ich mich erinnere ist das QK notwendig+hinreichend.

Jockel
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 20 Apr 2005 - 18:12:04    Titel:

Nein, das Quotientenkriterium ist nur notwendig.
Teste doch mal die harmonische Reihe.


Zuletzt bearbeitet von Gauss am 20 Apr 2005 - 18:24:55, insgesamt 2-mal bearbeitet
Jana2009
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Anmeldungsdatum: 11.04.2005
Beiträge: 32
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 20 Apr 2005 - 18:13:14    Titel:

Na, ginge das denn nun, dass ich das einfach aufteile in:
lim1/n²=(lim1/n)*(lim1/n)=0*0=0? Also, darf man das?

Lehrbuchzitat:"Hat eine Folge einen Grenzwert, so heißt sie konvergent." Müsste also der Nachweis über das Vorhandensein eines Grenzwertes als Nachweis über die Konvergenz ausreichen, oder?
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 20 Apr 2005 - 18:15:42    Titel:

Für die Folge: (1/n^2) ist das richtig.

Für die Reihe: summe n=1 bis unendlich ist das falsch.
Jockelx
Gast






BeitragVerfasst am: 20 Apr 2005 - 18:21:18    Titel:

Die harmonische Reihe erfüllt das QK nicht, zeigt also gar nix.
(Wie auch, da QK ja zumindest hinreichend ist).

Aber ich weiss es jetzt nicht auswendig, kann durchaus sein, das QK
nicht notwendig ist.

Jockel
Jockelxx
Gast






BeitragVerfasst am: 20 Apr 2005 - 18:26:03    Titel:

Ich halte mich jetzt daraus, nur ein letztes mal in der Hoffnung, dass
es verstanden wird:

Eine Reihe ist eine Folge!
Dementsprechend gilt alles für Folgen auch für Reihen.
Nur sind Reihen halt Folgen mit einem so häufig und wichtigem
Bildungsgesetz (nämlich s_n = a_= + .. + a_) das
diese Folgen einen eigenen Namen bekommen haben.
Jana, dein Satz gilt also!
Du musst in nur für s_n und nicht für a_n zeigen (bzw. ein weiteres
Reihen-Konvergenz-Kriterium nehmen).

Jockel
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