Studium, Ausbildung und Beruf
 StudiumHome   FAQFAQ   RegelnRegeln   SuchenSuchen    RegistrierenRegistrieren   LoginLogin

voll. induktion
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> voll. induktion
 
Autor Nachricht
Gast







BeitragVerfasst am: 20 Apr 2005 - 17:15:38    Titel: voll. induktion

hi!
brauch mal eure hilfe! komm da gar nicht mit klar:

zeigen sie durch voll. induktion: a(n)>a(n+1)>b(n+1)>b(n)

a1 = (a+b)/2
b1 = sqrt(a*b)

a(n+1) = ( a(n) + b(n) ) / 2
b(n+1) = sqrt( a(n) * b(n) )

danke für eure hilfe!
Gast







BeitragVerfasst am: 21 Apr 2005 - 10:01:35    Titel:

hab grad versucht dir zu helfen... leider hatte ich keinen erfolg! vielleicht kommt ja ein anderer weiter!
Gast







BeitragVerfasst am: 21 Apr 2005 - 18:53:07    Titel:

Ich hab grad nicht viel Zeit, aber vielleicht hilft dir das schon mal weiter.

Zeige b1<a1:

sqrt(a*b)<(a+b)/2 mal 2 , quadrieren

4*a*b<(a+b)²
4ab< a²+2ab+b²
0 < a²-2ab+b²
0 < (a-b)² erfüllt für a ungleich b

Damit dürfte sich der Rest zeigen lassen. Probier halt mal das bei den Induktionsstarts bzw Schritten zu verwenden. Hab jetzt aber noch nix ausgearbeitet.

Gruß Walde
Gast







BeitragVerfasst am: 21 Apr 2005 - 22:46:41    Titel:

Hi!
danke für die Hilfe bzw versuchte hilfe vom 1. gast!

mein problem ist, wie kann ich beweisen, dass

a(n) > a(n+1)?

a(n-1) + b(n-1) /2 > a(n) + b(n) /2

es handelt sich doch um eine summe oder?

wenn ja kann ich doch die werte a(1) bis a(n-1) abziehen und dann steht noch:

0 > a(n) + b(n) /2
aber das wär doch dann falsch....

glaub bin auf dem total falschem weg... oder hab ich nen denkfehler?
Walde
Gast






BeitragVerfasst am: 22 Apr 2005 - 05:24:12    Titel:

Ok, also ich komm grad von ner Party und bin etwas angetrunken also checkt das genau nach:

(1) zeige: b(n)<a(n):

I_start. b1<a1, hab ich ja oben schon gemacht

I-Schritt: es gelte für n, zeige, es gilt für n+1 (also b(n+1)<a(n+1))

b(n+1)=wurzel(a_n*b_n)<(a_n+b_n)/2=a(n+1) ,mal 2 , quadrieren

4*a_n*b_n < (a_n+b_n)²=a_n²+2a_nb_n+b_n²
0< a_n²-2a_nb_n+b_n²=(a_n-b_n)²
na, da hammers doch Very Happy

(2) zeige:a_n+1<a_n:
I_start: a2=(a1+b1)/2 < (a1+a1)/2 (wie oben schon gezeigt:b1<a1) =a1

I_schritt: es gelte für n, zeige,es gilt für n+1 (also a_n+2<a_n+1)
a_n+2=(a_n+1+b_n+1)/2<(a_n+1+a_n+1)/2 (eben in (1) gezeigt:bn<an)
=a_n+1
Das geht durch, wie Butter Very Happy

(3) zeige: bn<bn+1:

I_start: b1=w(ab)< w(a1*b1)=w( (a+b)/2 *w(a*b) ) quadr, mal 2
2ab<(a+b) w(ab) nochmal quadr
4a²b²<(a+b)² a*b durch a*b (ungleich 0), für a oder b =0 müsste man halt ne Fallunterscheidung machen, aber das geht dann schon Cool
4ab<(a+b)² das gilt, siehe oben

I_schritt: es gelte für n, zeige, es gilt für n+1 (also b_n+1<b_n+2)
b_n+1=w(an*bn)<w(a_n+1*b_n+1)=w((an+bn)/2* w(an+bn) )

das läuft weiter, wie beim I.-Start Idea


Jo, und damit hätten wir alles gezeigt: aus (3): b(n)<b(n+1)
aus (1): b(n+1)<a(n+1)
aus (2): a(n+1)<a(n)

Ich hoff mal, ich hab keine logischen Fehler begangen. Wenn alles stimmt, wars mir ein Vergnügen, wenns falsch ist, sag wo, dann kuck ich nochmal.
Tschüss Waldemar
Beiträge der letzten Zeit anzeigen:   
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> voll. induktion
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde
Seite 1 von 1

 
Gehe zu:  
Du kannst keine Beiträge in dieses Forum schreiben.
Du kannst auf Beiträge in diesem Forum nicht antworten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht bearbeiten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht löschen.
Du kannst an Umfragen in diesem Forum nicht mitmachen.

Chat :: Nachrichten:: Lexikon :: Bücher :: Impressum