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Suche nach nicht zyklischen Untergruppen
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Tiamat
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Anmeldungsdatum: 25.01.2008
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Wohnort: Aurich

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2008 - 16:45:37    Titel:

Lockenheld hat folgendes geschrieben:

Ist die Ordnung, von (D4,o) nicht 2n? --> also dann 8?


Sehr richtig, und deshalb gibt es auch nur Gruppen der Ordnung 1 ({id}), 2 ({id,s1},...,{id,s4}), 4 ({id,d1,d2,d3}) und 8 (D4).
Lockenheld
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Anmeldungsdatum: 14.06.2008
Beiträge: 223

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2008 - 16:47:32    Titel:

Tiamat hat folgendes geschrieben:
Lockenheld hat folgendes geschrieben:

Ist die Ordnung, von (D4,o) nicht 2n? --> also dann 8?


Sehr richtig, und deshalb gibt es auch nur Gruppen der Ordnung 1 ({id}), 2 ({id,s1},...,{id,s4}), 4 ({id,d1,d2,d3}) und 8 (D4).


Wie sieht denn dann die Untergruppe U8 aus? (id,d1,d2,d3,d4,s1,s2,s3,s4) ? Ich dachte die Spiegelungen bilden keine Untergruppe, da zwei Spiegelungen eine Drehung ergeben?
Lockenheld
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Anmeldungsdatum: 14.06.2008
Beiträge: 223

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2008 - 16:52:58    Titel:

So wenn ich jetzt alle Untergruppen vor mir habe, wie entscheide ich jetzt, ob sie zyklisch oder nicht zyklisch sind?
Tiamat
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Anmeldungsdatum: 25.01.2008
Beiträge: 2092
Wohnort: Aurich

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2008 - 16:55:13    Titel:

Wenn du mit U8 die Gruppe D4 selbst meinst, hast du Recht. Jede Gruppe ist ja selbst trivialerweise Untergruppe. Da hier alle Elemente der Gruppe vertreten sind, machen die Spiegelungen keine Probleme, denn du hast zwar Recht - zwei Spiegelungen ergeben eine Drehung - aber da die Drehungen ja auch in dieser Untergruppe liegen, erhält man ja bei der Verknüpfung von zwei Spiegelungen wieder ein Gruppenelement.
Die Spiegelungen können nur allein keine Untergruppe bilden, weil da eben nicht die Drehungen mit drin sind.

So, zurück zur Fragestellung: Welche der von mir beschriebenen Untergruppen sind zyklisch und welche nicht?
Lockenheld
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Anmeldungsdatum: 14.06.2008
Beiträge: 223

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2008 - 16:56:22    Titel:

Tiamat hat folgendes geschrieben:
So, zurück zur Fragestellung: Welche der von mir beschriebenen Untergruppen sind zyklisch und welche nicht?

Was ist denn das Kriterium für nicht zyklische Gruppen?
Tiamat
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Anmeldungsdatum: 25.01.2008
Beiträge: 2092
Wohnort: Aurich

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2008 - 16:57:27    Titel:

Vielleicht solltest du erstmal die Antwort auf einen Post abwarten, bevor du erneut etwas fragst - oder aber beide Fragen in einen Post packen... Wink

Also, zyklisch ist eine Untergruppe dann, wenn man ein Element findet, das die ganze Untergruppe erzeugt. Nehmen wir mal die Untergruppe {id,s1}. Die ist offensichtlich zyklisch, denn wenn ich die Spiegelung s1 zweimal ausführe, erhalte ich wieder die Identität, also erzeugt s1 schon die ganze Untergruppe.
Wie sieht es nun bei den übrigen Untergruppen aus?
Lockenheld
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Anmeldungsdatum: 14.06.2008
Beiträge: 223

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2008 - 18:47:45    Titel:

Also findet man die nicht zyklischen Gruppen indem man alle Gruppen untersucht. Man schaut dann welche Gruppen zyklisch sind und die, die Bedingungen nicht erfüllen sind dann die nicht zyklischen Gruppen. Also es gibt keine eigene Bedingung für die nicht zyklischen, man findet sie nur über das "Ausscheiden".
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8296
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2008 - 19:55:37    Titel:

(Gelöscht; war falsch)

mike
Lockenheld
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Anmeldungsdatum: 14.06.2008
Beiträge: 223

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2008 - 22:46:27    Titel:

Tiamat hat folgendes geschrieben:
Wie sieht es nun bei den übrigen Untergruppen aus?

D4 (id,d1,d2,...) ist nicht zyklisch, es gibt kein Element das die ganze Untergruppe erzeugt
id = ist zyklisch ?
(id,d1,d2,d3,) = Drehsymmetrien eines Quadrats --> zyklisch d1od1od1od1=id
(id,s1) --> zyklisch
(id,s2) --> zyklisch
(id,s3) --> zyklisch
(id,s4) --> zyklisch

Somit wäre nur D4 selbst nicht zyklisch, aber ich muss doch drei angeben ???
Tiamat
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Anmeldungsdatum: 25.01.2008
Beiträge: 2092
Wohnort: Aurich

BeitragVerfasst am: 08 Dez 2008 - 07:34:55    Titel:

Lockenheld hat folgendes geschrieben:

Somit wäre nur D4 selbst nicht zyklisch, aber ich muss doch drei angeben ???


Ich gebe dir Recht, D4 ist eigentlich die einzige nicht zyklische Untergruppe. Es sei denn, wir haben irgendetwas übersehen...
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