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Logarithmus
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xxluckyxx
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Anmeldungsdatum: 26.11.2008
Beiträge: 127

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2008 - 22:04:54    Titel: Logarithmus

hallo, wie kann ich

für alle n in lN: 1/n > log (1+1/n) > 1/n+1

zeigen
BarneyG.
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Anmeldungsdatum: 16.11.2008
Beiträge: 668

BeitragVerfasst am: 08 Dez 2008 - 17:51:58    Titel:

Die Sache hängt sehr eng mit der Folge an = (1 + 1/n)^n zusammen.

Bekanntlich strebt diese Folge gegen den Grenzwert e. Dabei wird i.a. erst einmal gezeigt, dass die Folge an monoton steigend ist. Dazu verwendet man z.B. entweder den allg. Binominalsatz oder die Bernoulli'sche Ungleichung.

Insbesondere ist also an < e.

Damit kann man die linke Seite deiner Ungleichung leicht beweisen:

(1 + 1/n)^n < e

ln((1 + 1/n)^n) < ln e

n * ln(1 + 1/n) < 1

ln(1 + 1/n) < 1/n

Die andere Seite der Ungleichung kann man ganz ähnlich beweisen. Da gibt es eine Folge bn, die ist monoton fallend und strebt auch gegen e ... Diesen Spaß will ich dir jetzt aber nicht nehmen ... Very Happy
xxluckyxx
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Anmeldungsdatum: 26.11.2008
Beiträge: 127

BeitragVerfasst am: 08 Dez 2008 - 19:43:01    Titel:

also kann ich das theoretisch fast genauso machen:

(1/n+1)^n < e

log ((1+1/n)^n) < log e

n log (1+1/n) < 1

log (1+1/n) > 1/n+1

??

stimmt das so
BarneyG.
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Anmeldungsdatum: 16.11.2008
Beiträge: 668

BeitragVerfasst am: 08 Dez 2008 - 21:17:03    Titel:

Zitat:
??


Damit hast du ja nun schon selbst gravierende Zweifel an deiner "Beweisführung" bekundet. Und die Zweifel sind (bei aller Wertschätzung) eben auch angebracht. Very Happy

Um es abzukürzen:

Es gilt:

(1 + 1/n)^n < e < (1 + 1/n)^(n+1)

Die linke Seite ist monoton steigend, die rechte monoton fallend. Und beide Folgen konvergieren gegen e.

Wir nutzen die zweite Ungleichung aus und erhalten durch logarithmieren auf beiden Seiten

ln(e) < ln((1+1/n)^(n+1))

1 < (n+1) ln(1+1/n)

1/(n+1) < ln(1+1/n)

Na, jetzt alles klar? Very Happy
xxluckyxx
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Anmeldungsdatum: 26.11.2008
Beiträge: 127

BeitragVerfasst am: 08 Dez 2008 - 21:39:24    Titel:

dankee schön
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