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Lineare unabhängbarkei von e^x, x
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Kenaj
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Anmeldungsdatum: 12.09.2006
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BeitragVerfasst am: 08 Dez 2008 - 15:36:22    Titel: Lineare unabhängbarkei von e^x, x

Hallo zusammen,

ich habe in meiner Serie follgendes Problem.
Sei U jener Unterraum von [; C^1 ( \R );] , welcher von den Funktionen e^x; x und 1 aufgespannt wird. Zeige, dass [; B := ( e^x ; x ; 1 ) ;] eine Basis von U ist.

damit ich dies zeigen kann muss ich ja sicherlich die Linerare unabhängbarkeit von den drei funktionen zeigen? wie gehe ich in so einem fall vor.

anschliessend:Der Di erentialoperator d/dx ist eine lineare Abbildung von U nach U. Bestimme die Koordinatenmatrix M (d/dx) dieser Abbildung bzgl. der B entsprechenden Basis in Bild- und Urbildraum.

da die Spalten der Abbildungsmatrix die abbildungen von der Basis ist bin ich au den schluss gekommen die matrix sieht so aus:

1 0 0
0 1 0
0 0 0

liege ich hier richtig.

ich danke euch für eure hilfe und euerer engagement

kenaj
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
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BeitragVerfasst am: 08 Dez 2008 - 16:18:47    Titel:

Wie du schon vermutest, reicht es beim ersten Teil aus, die lineare Unabhängigkeit von B zu zeigen. Der übliche Ansatz funktioniert natürlich auch hier:

r exp(x) + sx + t = 0

Wobei r, s und t reelle Zahlen sind und x als allquantifiziert zu verstehen ist. Falls diese Gleichung nur die triviale Lösung r = s = t = 0 besitzt, so ist die Menge {exp(x), x, 1} linear unabhängig. Eine gleichbedeutende Problemstellung wäre die folgende:

exp(x) = ax + b

Falls diese Gleichung irgendeine Lösung besitzt, so auch r exp(x) + sx + t = 0. Was steht nun eigentlich da? Nun, die Frage ist quasi, ob sich die natürliche Exponential-Funktion als lineare Funktion darstellen lässt. Versuch mal selber weiter zu machen!

Zum zweiten Part: Stelle mal die Ableitungen der Basis-Vektoren als Linear-Kombination der Elemente aus B dar! Dann hättest du die Abbildungs-Matrix prinzipiell schon.
Kenaj
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Anmeldungsdatum: 12.09.2006
Beiträge: 105

BeitragVerfasst am: 08 Dez 2008 - 16:51:03    Titel:

danke schon mal für di hilfe.

da exp(x) nicht als linera funktion dastellbar ist gilt nur die triviale lösung. sehe ich das so richtig? => die sie sind linear unabhängig.

habe ich das richtig verstanden das bei dir [; a:=\frac{s}{r}\ und \ b:=\frac{t}{r} ;]?

zum zweiten part:

[; \frac{de^x}{dx }= 1\cdot e^x +0\cdot x+0\cdot 1 ;]
[; \frac{dx}{dx }= 0\cdot e^x + 0\cdot x + 1\cdot 1 ;]
[; \frac{d1}{dx }= 0\cdot e^x + 0\cdot x + 0\cdot 1;]

somit würde di matrix so aussehen:
[;\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0
\end{array}
\right)
;]

sprich wenn ich die funktion [; x->2e^x+3x;] abbilde:
[;\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0
\end{array}
\right)
\cdot \left(
\begin{array}{c}
2\\
3\\
0
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{c}
2\\
0\\
0
\end{array}
\right)
;]
was ja offentsichtlich nicht richtig ist. da di funktion abgeleitet
[; 2e^x+3 ;] gibt

steh mir gerade auf dem schlauch
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
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BeitragVerfasst am: 08 Dez 2008 - 17:01:19    Titel:

Zwar kannst du a als s/r und b als t/r verstehen, aber dazu muss man vorneweg sagen, dass man davon ausgeht, dass r nicht Null ist. Das darf man aber auch nur tun, weil leicht ersichtlich ist, dass {x, 1} linear unabhängig ist. Kurzum: Wenn man es richtig erklärt, dann ja. Auf jeden Fall hast du richtig erkannt, dass {exp(x), x, 1} linear unabhängig ist.

Was die Abbildungsmatrix betrifft: Da hast du lediglich die Zeilen und Spalten verdreht. Wir wollen eine Matrix A, sodass gilt:

[; A \cdot \begin{pmatrix} \exp(x) \\ x \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \exp(x) \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ;]

Diese muss lauten:

[; A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} ;]
Kenaj
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Anmeldungsdatum: 12.09.2006
Beiträge: 105

BeitragVerfasst am: 08 Dez 2008 - 17:06:37    Titel: oh ja klar

oh ja klar muss ja die gesamte basis abbilden nicht nur ein einzelenr super danke für deine hilfe vielicht noch eine frage.

dieser funktionsraum hat dimension 3 oder lige ich da falsch. darauf komme ich da die basis 3 verktoren hat
Annihilator
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BeitragVerfasst am: 08 Dez 2008 - 17:30:47    Titel:

Nun, der von den Vektoren aus B aufgespannte Untervektorraum [; \operatorname{span} \left( \left{ \exp(x), x, 1 \right} \right) ;] hat die Dimension 3, aber [; C.\mathbb{R} ;], der Vektorraum der auf den reellen Zahlen stetigen Funktionen hat keine endliche Dimension.
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