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Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren
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Blackbird1987
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Anmeldungsdatum: 02.06.2006
Beiträge: 86

BeitragVerfasst am: 08 Dez 2008 - 17:34:28    Titel: Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren

Huhu ich hab mal wieder eine Frage!

Ich hab drei Vektoren gegeben

a1=(1,0,1,1)
a2=(2,1,-2,2)
a3=(1,-4,2,0)

(hab sie der einfachheit halber mal TRansponiert also bitte als senkrecht gestellt denken)

Diese drei VEktoren spannen einen linearen UNterraum des R^4 auf (gennant V)

Ich soll jetzt DImension und eine othonormale Basis von V angeben!

Ich habe jetzt zunächst überprüft ob alle Vektoren linear Unabhängig sind und bin zu dem Ergebniss gekommen das das so ist!

Jetzt wollte ich mit dem Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren beginnen um die orthonormale Basis zu berechnen.

habe also b1 =(1/Wurzel3)*(1,0,1,1) gerechnet.
dann habe ich (2,1,-2,2)- (1/3)*((2,1,-2,2)*(1,0,1,1))*(1,9,1,1) gerechnet und das was hier herauskommt sollte mein b2 sein. Aber hier hab ich irgendwie schon komische werte raus. Kann mir vllt jemand sagen ob der Ansatz richtig ist?

Und wie ich die Dimension des UNterraumes bestimme?
Ist die Dimension =3 da alle drei Vektoren linear unabhängig sind?

UNd als letztes soll ich überprüfen ob der Vektor x= (1,1,1,1)(auch jetzt Transponiert) zu V gehört und da habe ich absolut keine AHnung wie ich das angehen soll deswegen kann ich da jetzt auch keine Überlegung oder einen Ansatz hinschreiben. Da wäre ich über einen Ansatz sehr dankbar!
Tiamat
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Anmeldungsdatum: 25.01.2008
Beiträge: 2092
Wohnort: Aurich

BeitragVerfasst am: 08 Dez 2008 - 17:53:57    Titel:

Hm, wenn ich es durchrechne, komme ich auf andere Zahlen. Ich machs mal vor:

u1 = v1 * 1/|v1|, also u1 = (1,0,1,1) * 1/sqrt(3). Soweit okay.
Dann ist aber u2' = v2 - <v2,u1>*u1
Also u2' = (2,1,-2,2) - <(2,1,-2,2),(1,0,1,1)*1/sqrt(3)>*(1,0,1,1)*1/sqrt(3).

Das Skalarprodukt in der Mitte ergibt 2*1/sqrt(3) + 1*0 - 2*1/sqrt(3) + 2*1/sqrt(3) = 2/sqrt(3), also

u2' = (2,1,-2,2) - (1,0,1,1)*2/3 = (4/3,1,-8/3,4/3).
Jetzt noch normieren, d.h. durch seine Länge teilen und man erhält:

u2 = (4/3,1,-8/3,4/3) * sqrt(105)/3

Sei froh, dass es nur 3 Vektoren sind... das SOV ist eine Krankheit.
Blackbird1987
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Anmeldungsdatum: 02.06.2006
Beiträge: 86

BeitragVerfasst am: 08 Dez 2008 - 17:59:03    Titel:

ok das sind ja mal tolle Zahlen ^^
Stimmt das denn das die Dimension 3 ist?
Und wie muss ich das machen mit dem Überprüfen des Vektors?

Auf jeden Fall schonmal Danke für die schnelle Antwort Very Happy
Tiamat
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Anmeldungsdatum: 25.01.2008
Beiträge: 2092
Wohnort: Aurich

BeitragVerfasst am: 08 Dez 2008 - 18:12:26    Titel:

Die Dimension ist 3, das bekommst du heraus, wenn du die drei Ausgangsvektoren in eine Matrix schreibst und den Rang dieser Matrix bestimmst (mit Gauß).

Ob der Vektor (1,1,1,1) zu V gehört, bestimmst du, indem du versuchst, ihn als Linearkombination der anderen Vektoren darzustellen, d.h.

(1,1,1,1) = a*(1,0,1,1) + b*(2,1,-2,2) + c*(1,-4,2,0)

Und das heißt nichts anderes als ein LGS zu lösen. Wenn es lösbar ist, gehört der Vektor zu V, wenn nicht, dann nicht!

Edit: Ich hoffe mal, dass man dazu die Ausgangsvektoren nehmen darf und nicht die orthonormalisierten mit ihren krummen Zahlen...
Blackbird1987
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Anmeldungsdatum: 02.06.2006
Beiträge: 86

BeitragVerfasst am: 08 Dez 2008 - 18:15:14    Titel:

Super ! DAnn werd ich das jetzt auch noch machen. Hab die bestimmung der orthonormalen Basis gerade zu Ende gerechnet die Zahlen werden furchtbar Very Happy

Dann Dankeschön =)
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