[Tipp] Ableiten

Ein-stein · Full Member Anmeldungsdatum: 06.11.2007 Beiträge: 204 Wohnort: Wien

http://de.wikibooks.org/wiki/Einf%C3%BChrung_in_die_Tensorrechnung:_Kontravariante_und_kovariante_%C3%B6rtliche_Basissysteme

Auf diesen Link beziehe ich mich. Es geht um eine Umformung von Differentialen ungefähr in der Mitte dieser Seite, wo ein Vektor R nach u abgeleitet wird:

Dort wird dieser Vektor zunächst auf die drei Komponenten aufgespalten und dann kommt noch die innere Ableitung hinzu: Dx (D...partiell).

Aber was ist wenn ich überall diese inneren Ableitungewn des Vektors R kürze? Dann steht dort eine Summe der drei Ableitungen des Vektors R udn wenn ich die addiere:

DR/Du = 3 DR/Du

Also darf ich hier nciht kürzen, aber warum nciht?
Ich könnte es mir erklären, wenn ich nach dem Aufspalten auf die Kompoinenten nicht wieder die Ableitung des Vektors R schreibe, sondern nur mehr Ableitung des (Vektors) R ohne Vektorpfeil?

Kann das jemand erklären?

Die zweite Frage ist:

Warum ist die kovariante Ableitung des gemischten Kroneckersymbols delta^{a}_{b ; d} gleich Null?
Ist das nur eine Definition??
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• √ ∠ ∞ ≈ ∫ ≡ α β γ δ ε η κ λ π ρ σ φ ω Γ Δ ∇ Θ Λ Σ Φ Ω

Quarkonium · Full Member Anmeldungsdatum: 14.08.2008 Beiträge: 178

R hängt explizit von x,y,z ab, die ihrerseits explizit von den neuen Kordinaten" u,v,w abhängen (dies würde z.B. einer Transformation von kartesischen auf Kugelkoordianten entsprechen), das heißt also, dass man zuerst in erster Komponente nach x und x anschließend nach u ableiten muss usw. :

DR/Du=DR/Dx*Dx/Du+...

Kürzen ist nicht zulässig, da es sich um partielle Ableitungen handelt, bei denen du in der Regel nicht annehmen kannst, dass Dx und Dx gleich sind!
DR/Dx ist das kanonische Vektorfeld in x-Richtung und Dx/Du die Länge des Vektors DR/Du in Richtung des kan. Vektorfeldes DR/Dx. Im Prinzip zerlegt man das Vektorfeld R bzgl. der "alten" kanonischen Vektorfelder DR/Dx, DR/Dy, DR/Dz, die hier natürlich den Basisvektoren des kartesischen Koordinatensystems entsprechen (da reeller Vektorraum R^3).
DR/Du, DR/Dv, DR/Dw sind die "neuen" kanonischen Vektorfelder bzw. ein Satz neuer Basisvektoren für R^3.

Merksatz:
Nur bei totalen Differentialen ist das Kürzen in der Regel unproblematisch. Bei partiellen Differentialen muss man höllisch aufpassen; in der Regel ist es gar nicht möglich.

zu zwei:
Hast du vielleicht einen Link, wo man es auch nachschauen könnte...

Ein-stein · Full Member Anmeldungsdatum: 06.11.2007 Beiträge: 204 Wohnort: Wien

Okay, danke, alles klar vorerst
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