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Induktionsbeweis
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igotablues
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Anmeldungsdatum: 10.12.2008
Beiträge: 4
Wohnort: Berlin

BeitragVerfasst am: 10 Dez 2008 - 19:52:31    Titel: Induktionsbeweis

Hi Leute,

ich muss über vollständige induktion n^2+n für alle n € N ist teilbar durch 2 beweisen. bin leider noch nich sehr weit Laughing

Induktionsanfang: Für n=1 ist 1^2+1=2= 1*2 ist wahr
Induktionsannahme: Für n € N gelte dass n^2+n durch 2 teilbar ist, dass es also eine zahl k € N gibt, und es gilt: n^2+n=2k

und jetzt will ich das auch für n+1 beweisen, nur wie mach ich das am besten??

mfg Nicole
Cheater!
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Anmeldungsdatum: 28.10.2007
Beiträge: 5224
Wohnort: Stuttgart

BeitragVerfasst am: 10 Dez 2008 - 20:03:58    Titel:

Es gelte also

n²+n=2k (*)


und wir zeigen, dass auch

(n+1)² + n+1 = 2k+2i (k ist dasselbe k wie oben, i ist eine beliebige ganze Zahl)

gilt

n²+3n+2 = 2k+2i

jetzt (*) eingesetzt

2n+2 = 2i

n+1 = i

passt Smile
igotablues
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Anmeldungsdatum: 10.12.2008
Beiträge: 4
Wohnort: Berlin

BeitragVerfasst am: 10 Dez 2008 - 20:14:47    Titel:

Also auf das mit der beliebigen ganzen zahl i wär ich nich gekommen, ist aber trotzdem einleuchtend. Danke für die schnelle Antwort Smile
Tiamat
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Anmeldungsdatum: 25.01.2008
Beiträge: 2092
Wohnort: Aurich

BeitragVerfasst am: 11 Dez 2008 - 07:24:36    Titel:

Es geht auch etwas direkter. Beim Induktionsschritt multipliziert man zuerst mal aus:

(n+1)^2 + (n+1) = n^2 + 2n + 1 + n + 1

und holt sich dann die Teile zusammen, die man für das Anwenden der Induktionsvoraussetzung braucht, also das n^2 + n. Den Rest fasst man zusammen:

--> (n^2 + n) + (2n + 2)

Jetzt nur noch 2 ausklammern und man sieht:

--> (n^2 + n) + 2(n+1)

Also zwei Summanden, die beide durch 2 teilbar sind, so dass auch die Summe durch 2 teilbar sein muss.
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