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Potenzreihe
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Nemo88
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Anmeldungsdatum: 23.05.2007
Beiträge: 28

BeitragVerfasst am: 11 Dez 2008 - 20:57:48    Titel: Potenzreihe

Ich soll die die Potenzreihe der Funktion x(t)=1/(1-t) an der Stelle t0 (tiefgestellt)=0 bestimmen.
Nun habe ich die erste bis zehnte Ableitung gemacht, alles in Ordnung und zur Kontrolle habe ich den Graphen auf dem Rechner gemacht: Die Funktion x(t) fällt x=1 wieder in den negativen y-Bereich und nähert sich dann wieder asymptotisch der x-Achse. Meine Potenzreihe kommt aber gar nicht erst so weit: Sie beginnt auf der negativen x-Achse (was ja völlig ok. ist) und bei x=1 verschwindet sie im Unendlichen und kommt nicht mehr hinunter (was wahrscheinlich weniger ok. sein dürfte).
Woran liegt das nun? Ich kann mir nicht vorstellen, dass wenn ich noch bis zur 30. Ableitung addieren würde, dass die Potenzreihe beim Graphen irgendwann wieder einmal fällt.

Vielen Dank!
Cheater!
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Anmeldungsdatum: 28.10.2007
Beiträge: 4900
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BeitragVerfasst am: 12 Dez 2008 - 00:03:51    Titel:

Ich bin etwas verwirrt.

Die Funktion x(t)=1/(1-t) hat für t=0 den Funktionswert 1 und geht dann bis t=1 gegen +unendlich. Dort (bei t=1) hat sie einen Pol mit VZW und kommt dann wieder von -unendlich und geht gegen 0

Die Potenzreihe von x(t)=1/(1-t) um t=0 lautet: Summe[k=0,oo]t^k

Die ersten 8 Glieder ergeben etwa bis t=0.6 eine Übereinstimmung mit x(t). Wenn man beliebig viele Glieder nimmt, kann man auch das Verhalten bis t=1 erzeugen. Den VZW kann die Potenzreihe natürlich nicht durchführen.


Oder hab ich dich jetzt komplett falsch verstanden?
Nemo88
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Anmeldungsdatum: 23.05.2007
Beiträge: 28

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2008 - 00:27:26    Titel: Potenzreihe

Hallo Cheater!

Vielen Dank, das hat mir wirklich geholfen. Nein, du hast mich sehr gut verstanden - ich wollte wirklich wissen, ob das "normal" ist, dass die Potenzreihe im Idealfall nur bis t=1 kommen kann (von links genähert). Wie stelle ich die Potenzreihe auf, welche das Verhalten nach t=1 bis +oo geht? Geht das überhaupt, wenn in der Aufgabe vorgeschrieben ist, dass t0 (tiefgestellt)=0 sein muss? Nicht, oder?

Dann bin ich inzwischen noch bei einer anderen Aufgabe stecken geblieben: Ich soll den Konvergenzradius der Reihe Summe[k=1,oo] {[2^k*ln(k)]/[k!]}*(x^k) bestimmen.
Ich bin so weit gekommen, dass ich für a(n tiefgestellt) den Ausdruck in {} habe und für a(n tiefgestellt)+1 bei jedem k eine 1 addiert habe. Danach habe ich in die Formel für den Konvergenzradius eingesetzt (also Betrag (a(n) über a(n)+1). Momentan stehe ich also bei:
r=lim [k->oo] Betrag({[(k+1)! * (2^(k)*ln(k)] / [k! * (2^(l+1) * ln(k+1)]}
Sorry für die unübersichtliche Darstellung...:/ Irgendwie stecke ich nun beim "Algebraischen Auflösen" fest. Oder ist mir schon vorher ein Fehler unterlaufen?
Cheater!
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Anmeldungsdatum: 28.10.2007
Beiträge: 4900
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BeitragVerfasst am: 12 Dez 2008 - 00:41:15    Titel:

Für das Verhalten für t>1 müsstest du die Funktion um eine Stelle weiter rechts entwickeln (z.B. t=10). Allerdings lässt sich ein solches asymptotisches Verhalten IMHO nur schlecht durch ein Polynom annähern.


@2.Problem

r=lim [k->oo] Betrag({[(k+1)! * (2^(k)*ln(k)] / [k! * (2^(l+1) * ln(k+1)]}

Du kannst jetzt (k+1)!=(k+1)*k! machen und kürzen. Genauso auch mit 2^(k+1)=(2^k)*2
Nemo88
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Anmeldungsdatum: 23.05.2007
Beiträge: 28

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2008 - 01:04:21    Titel: Potenzreihe

Vielen Dank! Das war sehr behilflich! Das habe ich nun vestanden.

Zum zweiten Problem:
Also: r=lim [k->oo] {[(k+1) * ln(k)] / [2 * ln(k+1)]}
Wenn ich jetzt für alle k oo einsetze, bekomme ich aber oo/oo, nicht? Habe ich nun einen Schritt übersprungen oder kann ich nun einfach sagen, dass der Grad des Zählers grösser ist als der Grad des Nenners und deswegen der Grenzwert +oo ist? Heisst das nun, dass die Reihe beständig konvergent ist? Ich stehe momentan wirklich auf dem Schlauch, sorry...ich hoffe, man hat noch ein bisschen Geduld mit mir.Smile
Cheater!
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Anmeldungsdatum: 28.10.2007
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BeitragVerfasst am: 12 Dez 2008 - 01:42:12    Titel:

Zähler-"Grad" größer als Nenner-"Grad" passt.

Jap, der Konvergenzradius ist tatsächlich unendlich.
Nemo88
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Anmeldungsdatum: 23.05.2007
Beiträge: 28

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2008 - 01:44:00    Titel: Potenzreihe

Herzlichen Dank (vorallem auch fürs Aufbleiben:)).
Nun scheint alles klar zu sein und ich kann beruhigt schlafen gehen.
Cheater!
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Anmeldungsdatum: 28.10.2007
Beiträge: 4900
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BeitragVerfasst am: 12 Dez 2008 - 01:52:27    Titel:

Hehe, kein Problem, die Nacht ist noch jung Wink
Nemo88
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Anmeldungsdatum: 23.05.2007
Beiträge: 28

BeitragVerfasst am: 13 Dez 2008 - 00:53:36    Titel: Potenzreihe

Da bin ich wieder...dabei habe ich gedacht, der Rest würde ich alleine bewältigen können.
Ich soll herausfinden, für welche alpha>0 die Reihe Summe[n=1,oo] 1/n^alpha die Reihe konvergiert und divergiert.
Ich habe angefangen mit der allg. Formel lim[n->oo] Betrag([an(tiefgestellt)+1] / an(tiefgestellt)) = q
Ist q <1, ist die Reihe konvergent, ist q>1, ist die Reihe divergent.
Nun ist bei mir an(tiefgestellt) = 1/n^alpha und an(tiefgestellt)+1 = 1/[(1+n)^alpha] Dann einfach beides in die Formel eingesetzt und so weit wie möglich vereinfach (Bruch gestürzt) und bin nun bei der Form lim[n->oo] Betrag(n^alpha / [(1+n)^alpha] = q. Wenn ich nun für n oo einsetze, dann habe ich oo/oo, egal, was ich für ein alpha einsetze (da alpha<0 sein muss laut Aufgabenstellung). So kann ich ja aber nicht entscheiden, ob die Reihe konvergent oder divergent ist...wo liegt mein Rechen- und/oder Denkfehler? Und dann noch: Ist an(tiefgestellt)+1 wirklich 1/[(1+n)^alpha] oder 1/[(n^alpha)+1]?
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