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ZT: Nichtlineare diophantische Gleichung
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> ZT: Nichtlineare diophantische Gleichung
 
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Tiamat
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Anmeldungsdatum: 25.01.2008
Beiträge: 2092
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BeitragVerfasst am: 13 Dez 2008 - 22:03:11    Titel: ZT: Nichtlineare diophantische Gleichung

Hallo,

und nochmal Zahlentheorie:

Zeigen Sie, dass es keine x,y,z € Z gibt mit x² – 2y² + 8z = 3.

Wie man an lineare diophantische Gleichungen rangeht, weiß ich, aber das hier gibt mir Rätsel auf. Ich vermute, dass es wieder etwas mit quadratischen Resten und somit mit dem Legendresymbol zu tun hat, aber ich weiß nicht, wie ich loslegen muss.
Bin also für Tipps aller Art dankbar!
Tiamat
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Anmeldungsdatum: 25.01.2008
Beiträge: 2092
Wohnort: Aurich

BeitragVerfasst am: 15 Dez 2008 - 18:29:41    Titel:

Keiner eine Idee?

Ich liefere auch mal meinen Ansatz:

Ich habe die Gleichung mal modulo 3 betrachtet:

x² - 2y² + 8z ≡ x² - 2y² + 2z ≡ 0 mod 3

D.h. x² - 2y² + 2z müsste durch 3 teilbar sein.

Bringt mich das irgendwie weiter?
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24257

BeitragVerfasst am: 15 Dez 2008 - 18:34:35    Titel:

Hinweis: Es lohnt sich immer modulo die Koeffizienten zu schauen. Und gerade bei Quadraten ist 8 immer eine gute Wahl, denn es gibt nicht all zu viele Quadratische Reste modulo 8. Wink

Cyrix
Tiamat
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Anmeldungsdatum: 25.01.2008
Beiträge: 2092
Wohnort: Aurich

BeitragVerfasst am: 15 Dez 2008 - 19:29:50    Titel:

Okay, dann also

x² - 2y² + 8z ≡ x² - 2y² ≡ 3 mod 8.

Kann ich dann schon damit argumentieren, dass 3 kein quadratischer Rest mod 8 ist? Ich habe ja auf der linken Seite der Kongruenz nicht nur ein Quadrat stehen...

Nebenbei: Wenn ich das Jacobi-Symbol (3/8) mal ausrechne, komme ich auf den Wert 1, aber 3 ist ja QNR mod 8. Wo liegt mein Fehler?

(3/8) = (3/2)^3 (untere Multiplikativität)
(3/2) = (1/2) (obere Kongruenzinvarianz)
(1/2) = 1,
also (3/8) = (3/2)^3 = 1^3 = 1.
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 15 Dez 2008 - 19:39:24    Titel:

Wieso so umständlich?


x² - 2y² + 8z ≡ x² ≡ 3 (mod 2) Arrow x muss ungerade sein

x² - 2y ≡ 3 (mod 8 ), das Quadrat einer ungeraden Zahl ist modulo 8 stets 1, somit bleibt also als Gleichung übrig:
-2y² ≡ 2 (mod 8 )
2y² ≡ 6 (mod 8 )


Die einzigen quadratischen Reste modulo 8 sind 0, 1 und 4, die Gleichung hat also keine Lösung.


btw @ cyrix: Kann es sein, dass dein Posteingang voll ist? Surprised
Tiamat
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Anmeldungsdatum: 25.01.2008
Beiträge: 2092
Wohnort: Aurich

BeitragVerfasst am: 15 Dez 2008 - 19:59:53    Titel:

Ahja, vielen Dank, so kann ich es nachvollziehen... Gibt anscheinend keinen "Königsweg", wie man an diese Gleichungen herangeht...

Wie ist es aber mit meinem Jacobisymbol (3/Cool bzw. auch (3/4)? Beide sollten -1 ergeben, aber wie komme ich darauf? Habe inzwischen herausgefunden, dass ich die untere Multiplikativität nicht anwenden kann, weil ggT(2,2) = 2 und nicht 1 ist. Wie aber löse ich das Symbol dann auf?
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 15 Dez 2008 - 20:02:48    Titel:

Garnicht Wink

Wikipedia hat folgendes geschrieben:
Dabei muss n im Gegensatz zu p in L(a,p) keine Primzahl sein, allerdings muss es sich bei n um eine ungerade Zahl größer als 1 handeln.
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