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Exponential
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Optimist71
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Anmeldungsdatum: 30.06.2006
Beiträge: 188
Wohnort: Oslo

BeitragVerfasst am: 15 Dez 2008 - 20:04:40    Titel:

Hallo xxluckyxx und Calculus,

ich hab's mir jetzt auch nochmal angesehen, und habe hier einen Loesungsvorschlag:

Der Anfang sieht genauso aus, wie Calculus sie skizziert hat.

Also: Ungleichung exp(-1/y)< n! y^n in der Form exp(1/y) > 1 / (n! y^n) schreiben.

Die e-Funktion (exp(1/y)) dann in ihrer Reihendarstellung schreiben.
(Summe ueber 1/k! (1/y^k) fuer k = 0 ... unendlich).

Die Ungleichung dann fuer alle n beweisen, indem
1) die Ungleichung zunaechst fuer n = 1 ueberprueft wird (Induktionsanfang) und dann

2) nachgewiesen, dass die Ungleichung fuer jedes (n+1) gilt, wenn sie fuer n gilt (Induktionsschritt).

Die Zwischenschritte schreibe ich jetzt absichtlich zunaechst noch nicht ausfuehrlich hin, um nicht alles vorwegzunehmen. Die letzte Zeile im Schritt 2) sieht so aus:

Laut Voraussetzung ist
Summe ueber 1/(k!) (1/y^k) fuer k = 0 ... unendlich
> 1/n! * 1/y^n (laut Induktionsvoraussetztung)
= y(n+1) * 1/(n+1)! * 1/y^(n+1)
> 1/(n+1)! * 1/y^(n+1) (da y(n+1) > 0)

Also: Wenn der Summenausdruck > 1/n! * 1/y^n ist (z.B. fuer n = 1), dann ist er auch > 1/(n+1)! * 1/y^(n+1)

Ærbødigst
-- Optimist
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 15 Dez 2008 - 20:14:40    Titel:

Wozu Induktion?


e^(1/y) = summe[k = 0 bis ∞]{(1/y)^k/k!} > summe[k = 0 bis n]{1/(k! * y^k)} > 1/(n! * y^n)
xxluckyxx
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Anmeldungsdatum: 26.11.2008
Beiträge: 127

BeitragVerfasst am: 15 Dez 2008 - 20:57:47    Titel:

was soll ich denn jetzt machen

induktion oder nicht, zwar kann ich das auch nicht mit der induktion,

total durcheinander Sad
xxluckyxx
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Anmeldungsdatum: 26.11.2008
Beiträge: 127

BeitragVerfasst am: 15 Dez 2008 - 22:43:21    Titel:

calculus, ist das der beweis, also ist es somit fertig
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