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Frage zu Cauchy-Folgen
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Anmeldungsdatum: 15.04.2008
Beiträge: 75

BeitragVerfasst am: 18 Dez 2008 - 20:08:30    Titel: Frage zu Cauchy-Folgen

Hallo,

ich habe eine Frage zu Cauchy-Folgen. Und zwar, wie muss ich Epsilon bzw. m, n und N (mit m, n größer gleich N und N ist Element aus den natürlichen Zahlen) wählen, um zu zeigen, dass eine Folge eine Cauchy-Folge ist bzw. nicht ist.

Im Wikipedia-Artikel sind zwei Beispiele gegeben, die ich nicht ganz nachvollziehen kann. Das erste Beispiel ist eine Cauchy-Folge und wie man zeigt, dass es eine solche ist, und das zweite Beispiel ist eine Nicht-Cauchy-Folge und wie man zeigt, dass es eine solche ist.

Bitte klick auf den Link, um die Beispiele zu sehen: http://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Folge#Beispiele

Meine erste Frage lautet: Wieso wählt man beim ersten Beispiel N = 1/Epsilon? Muss Epsilon immer als Argument der Folge eingesetzt werden und N ist dann gleich der Folgenwert für dieses Epsilon?

Meine zweite Frage lautet: Wieso wählt man beim zweiten Beispiel Epsilon = 1/2 und in welcher Beziehung steht dieses 1/2 zu m = N +1 und zu n = m +1? Wenn man Epsilon gleich 2 wählt, aber m und n beibehält, dann wäre gezeigt, dass das zweite Beispiel ebenfalls eine Cauchy-Folge ist. (Also warum muss man Epsilon = 1/2 wählen?)

Das finde ich alles sehr verwirrend, gibt es denn keine allgemeine Regel wie ich Epsilon bzw. m, n und N wählen muss? Bin für jede Hilfe dankbar!

Vielen Dank im Voraus!
math_SD
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Anmeldungsdatum: 09.02.2006
Beiträge: 1166

BeitragVerfasst am: 18 Dez 2008 - 20:57:55    Titel:

1.
Man muss ja zeigen, dass ein N ex. für beliebig gewähltes eps., sodass für alle (ohne Beschränkung d. Allgemeinheit) n>=m>N die |a_m - a_n| <eps.
Jetzt schafft man es für diese bestimmte folge zu zeigen, dass
|a_m - a_n| =|1/m - 1/n| <= 1/m ist.
Es gilt also ein N zu finden, sodass 1/m < eps.
wir wählen N nun wie folgt:
N>1/eps <=> 1/N<eps. Das dürfen wir, da wir nur ein N finden müssen, sodass es für n>=m>N gilt.
Direkt aus m>N folgt dann aber auch 1/m < 1/N < eps.

2.
Naja, damit es eine cauchyfolge ist, muss ja die Eigenschaft für alle beliebigen eps > 0 gelten.
Dort wird gezeigt, dass es für eps = 1/2 eben nicht gilt, womit es keine Cauchyfolge ist.
Man hätte genauso gut 2/3, 1/4 oder ähnliches wählen können.
Hauptsache, es ergibt sich jener Widerspruch.
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