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komplexe Zahlen. Kehrwert, Betrag und Argument
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> komplexe Zahlen. Kehrwert, Betrag und Argument
 
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Lockenheld
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Anmeldungsdatum: 14.06.2008
Beiträge: 223

BeitragVerfasst am: 26 Dez 2008 - 12:53:54    Titel: komplexe Zahlen. Kehrwert, Betrag und Argument

Hallo, ich soll für die drei folgenden Aufgaben Kehrwert, Betrag und Argument berechnen. (bis jetzt habe ich nur Betrag und Argument gemacht)

a) 1+i
Betrag: sqrt 1^2+1^2 = sqrt2
Argumnt: tan=b/a = 1/1=45°

b) 5i
Betrag: sqrt 5^2=5
Argument: tan=b/a = 5/0 ???? (ja wohl eher nicht!)

c) 3-3i
Betrag: sqrt 3^2+3^2=18
Argeumnt: tan=b/a=3/3=1=45°

Stimmt das bis hierhin, dann mache ich nachher noch den Kehrwert.
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 26 Dez 2008 - 13:41:53    Titel:

.
Zitat:
Stimmt das bis hierhin

a) ja , b) halb , c) völlig falsch

Smile
Lockenheld
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Anmeldungsdatum: 14.06.2008
Beiträge: 223

BeitragVerfasst am: 26 Dez 2008 - 15:51:59    Titel:

Was stimmt denn bei der b) nicht?
Wenn ich das Argument berechnen will, dann ist doch mein a=0 und b=5, dann "muss" es ja 5/0 sein, oder was mache ich falsch?


Teil c)
Betrag: sqrt3^2-3^2 = sqrt 0 = 0
Beim Argument weiß ich nicht wie ich es sonst rechnen soll.
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 26 Dez 2008 - 21:54:13    Titel:

.
Zitat:
Was stimmt denn bei der b) nicht?
Wenn ich das Argument berechnen will, dann ist doch mein a=0 und b=5, dann "muss" es ja 5/0 sein, oder was mache ich falsch?

das mit dem Tangens ist nicht immer die beste Idee Sad

es ist so:
z=a+b*i
zuerst rechnest du den Betrag |z|=r
dann rechnest du
z= r * ( a/r + (b/r)*i) = r *( cos(φ) + i* sin(φ) )
und bekommst so das richtige Argument (dh den Winkel) aus diesen beiden Informationen:
cos( φ)= a/r .. UND .. sin( φ)= b/r


also bei deinem Beispiel b) z=5*i → |z|=r=5 → z=5*( 0 + (5/5)*i)=5*( 0+ i )
also ist cos( φ)= 0 .. UND .. sin( φ)= 1
→ φ = 90°


kurz dann ebenso bei Aufgabe c) z=3-3*i
|z|=r = √ (3²+3²) = √(18 ) = 3*√(2)

also z= r*( 0,5*√(2) - 0,5*√(2) * i )

cos( φ)= 0,5*√(2) .. UND .. sin( φ)= - 0,5*√(2) →
φ = 315° ...(oder -45°)

ok?
Lockenheld
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Anmeldungsdatum: 14.06.2008
Beiträge: 223

BeitragVerfasst am: 27 Dez 2008 - 10:53:23    Titel:

Also die b) ist klar, wenn man die nach dem Schema rechnet. Nur die c) versteh ich nicht.
[quote="mathefan"]. kurz dann ebenso bei Aufgabe c) z=3-3*i
|z|=r = √ (3²+3²) = √(18 ) = 3*√(2) klar!

also z= r*( 0,5*√(2) - 0,5*√(2) * i )

cos( φ)= 0,5*√(2) .. UND .. sin( φ)= - 0,5*√(2) →
φ = 315° ...(oder -45°)

Wo kommt denn die 0,5 her? Wieso wird für "r" fvor der Klammer nicht 3*sqrt2 eingesetzt?
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 27 Dez 2008 - 13:58:44    Titel:

.
Zitat:

also z= r*( 0,5*√(2) - 0,5*√(2) * i )


Wieso wird für "r" fvor der Klammer nicht 3*sqrt2 eingesetzt?
.. damit du auch noch was selbst machen kannst Very Happy


Zitat:
Wo kommt denn die 0,5 her?

1) setze für r ein - so wie du es oben selbst gesehen hast ..
2) mach dann mal die Probe (dh. multipliziere die Klammer wieder aus) ..
und - oh Wunder? - es kommt z= 3 -3*i heraus - oder?

also . klar? .. warum in der Klammer ( ein Halb mal Wurzel(2) .. ) herumstehen muss?

ok?
Lockenheld
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Anmeldungsdatum: 14.06.2008
Beiträge: 223

BeitragVerfasst am: 27 Dez 2008 - 14:51:45    Titel:

Okay, ich wenn 0,5*sqrt2 = 1/sqrt2 ist, dann ist alles klar Wink.

Nur ich komm nur auf die -45°. Die 315° krieg ich mit dem TR nie raus. Das ist doch der cos von 0,5*sqrt2?
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 27 Dez 2008 - 17:01:53    Titel:

.

.................... Very Happy z = 3 - 3* i = 3*sqrt2 *[ cos(315°) + i* sin(315°) ] Very Happy .........

.
Zitat:
Nur ich komm nur auf die -45°. Die 315° krieg ich mit dem TR nie raus.
← Kopfrechnung: 360 - 45 = ?

Das ist doch der cos von 0,5*sqrt2? Evil or Very Mad
.. NEIN

1) es ist nicht "cos von 0,5*sqrt2 " sondern cos (φ) = 0,5*sqrt2
und der zugehörige Winkel φ kann dann
entweder 45° .. oder 315° sein.


2) welcher der beiden Winkel dann für dein z passt, bekommst du mit dem zweiten Wert raus
..(dem Faktor vor dem i einschliesslich Vorzeichen)
in deinem Beispiel ist der sin(φ ) = - 0,5*sqrt2
und dazu kann entweder 225° oder 315° passen..

3) und jetzt siehst du hoffentlich, dass der Winkel φ der beide Bedingungen erfüllt
nämlich cos(φ) = 0,5*sqrt2 UND sin(φ) = - 0,5*sqrt2
dann nur φ = 315° sein kann...

ok?

PS:
Mach dir das alles mal mit einem Bildchen am Einheitskreis klar.. Wink

http://www.geogebra.org/de/examples/trigo_einheitskreis/einheitskreis1.html

http://www.geogebra.org/de/examples/trigo_einheitskreis/einheitskreis2.html

usw..
.
Lockenheld
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Anmeldungsdatum: 14.06.2008
Beiträge: 223

BeitragVerfasst am: 28 Dez 2008 - 09:39:35    Titel:

Also wenn ich ehrlich bin raff ich immer noch nicht, warum sin(φ ) = - 0,5*sqrt2 225° sein kann.... Embarassed

So hier mal meine finale Fassung, ich hoffe, dass kein Fehler mehr drin ist.
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 29 Dez 2008 - 21:23:26    Titel:

.
Zitat:

meine finale Fassung, ich hoffe, dass kein Fehler mehr drin ist.
Very Happy ok .. aber den Kehrwert von z= 3-3i solltest du dann doch nochmal neu rechnen Sad
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