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Primzahlen
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111seba
Gast






BeitragVerfasst am: 23 Apr 2005 - 16:13:54    Titel: Primzahlen

Beweisen Sie 1. für jede Primzahl p ist Wurzel p irrational .
2.Für jede Primzahl p und jede natürliche Zahl n>=2 ist n. Wurzel p irrational. Wer kann mir helfen?.
LonelyStar
Gast






BeitragVerfasst am: 23 Apr 2005 - 16:44:55    Titel:

OK, angenommen p^(1/2) € Q
=> p^(1/2)=a/b wobei a,b € N und a und b Teilferfemd.
=> a^2/b^2=p
=> a^2=b^2*p
=> a^2 ist durch p teilbar
=> (wegen primfaktorzerlegung) a ist durch p teilbar
=> Es gibt c € N so dass a=c*p
=> P*b^2=a^2=(c*p)^2=c^2*p^2
=> b^2=c^2*p
=> b^2 ist durch p teilbar
=> (wie oben) ist durch p teilbar
Also sind a und b nicht Teilerfremd. Wiederspruch zur annahme.

2. Teil sollte so ähnlich gehen ... habe gerade leider keine Zeit dafür
LonelyStar
Gast






BeitragVerfasst am: 23 Apr 2005 - 16:48:26    Titel:

OK, angenommen p^(1/n) € Q
=> p^(1/n)=a/b wobei a,b € N und a und b Teilferfemd.
=> a^n/b^n=p
=> a^n=b^n*p
=> a^n ist durch p teilbar (p ist also ein primfaktor von a^n)
=> (wegen primfaktorzerlegung) a ist durch p teilbar
=> Es gibt c € N so dass a=c*p
=> P*b^n=a^n=(c*p)^n=c^n*p^n
=> b^n=c^n*p
=> b^n ist durch p teilbar
=> (wie oben) ist durch p teilbar
Also sind a und b nicht Teilerfremd. Wiederspruch zur annahme.

Geht also ganz genauso (hoffe ich habe keinen Fehler gemacht)
111seba
Gast






BeitragVerfasst am: 23 Apr 2005 - 17:19:11    Titel: Primzahlen

Vielen Dank.
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