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Flaschen
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Inevitable
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Anmeldungsdatum: 27.10.2007
Beiträge: 1166

BeitragVerfasst am: 04 Jan 2009 - 17:20:48    Titel: Flaschen

Eine 1.49-Liter-Flasche wird nach folgendem System aufgefüllt:

Zunächst wird 1 Liter eingefüllt, dann 1/3 dieser ersten Füllung, dann 1/3 der zweiten Füllung etc.

a) Wie groß ist die n-te Füllung?

s=(a1)/(1-q)= 1/(1-(1/3))=1.5

b) Nach welcher Zahl von Füllungen läuft die Flasche über?

Meine Idee war, dass ich diese Formel verwende:

sn=a1*((1-q^n)/(1-q))

Mein Problem, ab wann läuft sie über?

Ab 1ml mehr? also 1.491?

Habt ihr eine Idee?
TyrO
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Anmeldungsdatum: 14.05.2007
Beiträge: 3995

BeitragVerfasst am: 04 Jan 2009 - 17:48:12    Titel:

a) Sn = 1.5*(1-(1/3)^n)

b) Die Flasche läuft über, wenn der Inhalt der Flasche 1,49-liter überschreitet.

Sn > 1.49
BarneyG.
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Anmeldungsdatum: 16.11.2008
Beiträge: 667

BeitragVerfasst am: 04 Jan 2009 - 18:05:21    Titel:

Na, die Sache mit der Summenformel ist doch schon mal ganz in Ordnung:

Sn = (1-q^(n-1)) / (1-q) wobei q = 1/3 ist.

Der Grenzwert von Sn = 1 / (1-q) = 1 / (2/3) = 3/2 = 1,5

Und damit wird die Flasche irgendwann überlaufen. Die Frage ist halt ab welchem n das der Fall ist.

1,49 < Sn = (1- (1/3)^(n-1) / (1 - (1/3) = 3/2 x (1 - (1/3)^(n-1)

Umgeformt erhält man (wenn ich richtig gerechnet haben sollte)

(1/3)^(n-1) > 1 - 1,49 x 2/3

(n-1) log(1/3) > log(1 - 1,49 x 2/3)

n > log(1 - 1,49 x 2/3) / log(1/3) + 1

Die Rechnung ist mir jetzt zu langweilig. Aber für den Taschenrechner sollte das dann kein Problem mehr sein ... Very Happy
TyrO
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Anmeldungsdatum: 14.05.2007
Beiträge: 3995

BeitragVerfasst am: 04 Jan 2009 - 18:06:56    Titel:

BarneyG. hat folgendes geschrieben:

Sn = (1-q^(n-1)) / (1-q) wobei q = 1/3 ist.
Der Grenzwert von Sn = 1 / (1-q) = 1 / (2/3) = 3/2 = 1,5


Ich bezweifel, dass hier der Grenzwert gesucht wird.
BarneyG.
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Anmeldungsdatum: 16.11.2008
Beiträge: 667

BeitragVerfasst am: 04 Jan 2009 - 18:11:45    Titel:

Zitat:
Ich bezweifel, dass hier der Grenzwert gesucht wird.


Da hast du schon recht. Aber ich bin nun mal misstrauisch. Ehe ich mich mit der Frage beschäftige, WANN die Flasche überläuft, frage ich mich erst mal, ob sie ÜBERHAUPT überlaufen wird. Very Happy
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 04 Jan 2009 - 18:13:42    Titel:

.
Zitat:
Eine 1.49-Liter-Flasche wird nach folgendem System aufgefüllt:

das ist endlich Very Happy mal eine Aufgabe voll aus dem praktischen täglichen Leben gegriffen.. Razz

allerdings wird es sich weder um Weinflaschen noch um Bierlaschen mit solchen Massen handeln.

nehmen wir also an, es wird in einen alten römischen Behälter -deshalb die wunderlichen Masse-
(Römer hatten zwar auch 10 Finger, kannten das Dezimalsystem aber nicht mal gerüchteweise)
Öl eingefüllt, tröpfchenweise am Schluss, bis kurz vor dem Überlaufen die letzte Ölung erreicht wird.

Die heutige kluge Hausfrau probiert, erkennt dass es überlaufen wird, wenn n> -ln(0,02/3) / ln(3)
und wird deshalb nach der vierten Abfülltat ihre Aktivitäten einstellen.


Very Happy
BarneyG.
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Anmeldungsdatum: 16.11.2008
Beiträge: 667

BeitragVerfasst am: 04 Jan 2009 - 18:21:33    Titel:

Verflixt! Das hätte ich bei dieser Aufgabe doch jetzt glatt übersehen!

Du hast natürlich vollkommen recht. Man sollte jeder Bierflasche über 0,5l Inhalt sofort Misstrauen entgegenbringen. Wenn das Volumen der Flasche in solch eklatantem Widerspruch zur europäischen Norm steht, wer garantiert mir dann, dass das Reinheitsgebot eingehalten wird. Ich würde vermuten, dass man da mit einer Wahrscheinlichkeit von 12 über 7 geteilt durch 2 hoch 12 vom Gegenteil ausgehen sollte.

Sind deutsche Mathematiklehrer tatsächlich so wirklichkeitsfremd, dass sie derartigen Humbug als Hausaufgaben stellen? Very Happy
Inevitable
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Anmeldungsdatum: 27.10.2007
Beiträge: 1166

BeitragVerfasst am: 04 Jan 2009 - 19:41:16    Titel:

Hmm.. okay.. also mein Pc war kurzzeitig kaputt...
Aber ihr hattet genug Gesprächsstoff Shocked

Okay, mein Vorgehen war so:

1.49< ((1-(1/3)^n)/(2/3))

1.49*(2/3)< 1-(1/3)^n

149/150 < 1- (1/3)^n

149/150 - 1 < (1/3)^n

-1/150 < (1/3)^n

Aber ich kann ja keinen Logarithmus bilden! Da ist ja eine negative Zahl Sad
TyrO
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Anmeldungsdatum: 14.05.2007
Beiträge: 3995

BeitragVerfasst am: 04 Jan 2009 - 19:44:27    Titel:

Inevitable hat folgendes geschrieben:

1.49< ((1-(1/3)^n)/(2/3))

1.49*(2/3)< 1-(1/3)^n

149/150 < 1- (1/3)^n

149/150 - 1 < (1/3)^n


-1/150 < (1/3)^n
Inevitable
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Anmeldungsdatum: 27.10.2007
Beiträge: 1166

BeitragVerfasst am: 04 Jan 2009 - 19:55:00    Titel:

Ups, klar vor dem (1/3) ist auch ein minus!!

Also kommt da bei mir raus:


log(149/150)/log(1/3)=0.006

?
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