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Gleichungen
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TyrO
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Anmeldungsdatum: 14.05.2007
Beiträge: 3995

BeitragVerfasst am: 04 Jan 2009 - 22:07:06    Titel: Gleichungen

Mich würde mal interessieren, wie ihr an solche Aufgaben rangeht.
An was denkt ihr als erstes?

Man bestimme alle Paare (x, y) ganzer Zahlen, welche die folgende Gleichung erfüllen:

[;1+2^x+2^{2x+1} = y^2;]

Also 2 Lösungen sieht man ja sofort. Man kann auch schließen, dass wenn ein Paar (x,y) eine Lösung darstellt, es eine zweite, ein wenig veränderte, Lösung geben muss.
Bin auf lustige Lösungen gestoßen, aber nach langem hin her auf insgesamt 4 Lösungen.

Wie löst ihr eine solche Aufgabe?
isi1
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Anmeldungsdatum: 10.08.2006
Beiträge: 7394
Wohnort: München

BeitragVerfasst am: 04 Jan 2009 - 23:15:32    Titel:

Sind die Lösungen (0|2) , (4|23) und die mit negativem y, TyrO?

Aber ich nehme an, Du willst nur Lösungen aus den positiven Ganzzahlen.
BarneyG.
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Anmeldungsdatum: 16.11.2008
Beiträge: 668

BeitragVerfasst am: 05 Jan 2009 - 10:10:09    Titel:

Bei der Aufgabe habe ich mich jetzt auch erst mal "verrannt". Aber ich glaube, so könnte es gehen:

2^(2x+1) + 2^x + 1 - y^2 = 0

2^(2x) + (1/2) * 2^x + (1 - y^2)/2 = 0

Setze 2^x = z

z^2 + (1/2) * z + (1 - y^2)/2 = 0

Nach Vieta erhält man die Diskriminante

D = 2(2y)^2 - 7

Damit die Lösung z und damit x überhaupt eine Ganzzahl sein kann, muss D eine Quadratzahl sein.

Für genügend große y ist dies aber nicht möglich. Wenn man vom doppelten einer (großen) Quadratzahl einen sehr kleinen Wert (nämlich 7) subtrahiert, dann kann man keine Quadratzahl erhalten. (ohne das genauer ausführen zu wollen). Und damit gibt es eine obere Schranke für y. Diese Schranke lässt sich (mit einiger Rechnerei) bestimmen. Damit muss man auch nur alle x bis zu einer gewissen Schranke prüfen. Und damit findet man alle (positiven) Lösungen. Ich vermute mal, dass dies nur (0 / 2) und (4 / 23) sind.
jayjay83
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Anmeldungsdatum: 15.12.2008
Beiträge: 346

BeitragVerfasst am: 05 Jan 2009 - 12:52:51    Titel:

Ich hätte noch einen anderen Ansatz:

[;1 + 2^x + 2^{2x+1} = y^2;]

-->

[; 2^x(1+ 2^{x+1}) = y^2 - 1;]
Jetzt 3 Fälle betrachten, für x=0, x>0,x<0.

1.Fall:
für x=0, steht da

[;3=y^2-1;] --> [;3=(y-1)(y+1);]--> [;(y-1)=3;] und [;(y+1)=1;] oder
[;(y+1)=3 und (y-1)=1);]
--> da der erste Fall nicht eintreten kann nur [;y=2;] (in IN) für [;x=0;]
Das führt uns direkt zu zweiten Lösung
[;(y-1)=-3;] und [;(y+1)=-1);] also [;y=-2;]
Lösung im ersten Fall {(x,y), x=0 und y=-2 oder y=2}

2.Fall:
F.a. x > 0 haben wir den Faktor [;2^x;] , was darauf schließen lässt das alle weiteren Lösungen für [;y^2;] ungerade sein müssen. D.h. [; y= 2k-1;] oder [;1+2k;]

Dann würde ich erstmal schauen, welche Werte [;y^2-1;] annehmen kann
--> [;0;8;24;48;80;...;]
es handelt sich offenbar um vielfache von 8 und zwar mit dem Faktor der sich aus der Folge 1;3;6;10;15;21 ergibt.
Da es sich bei dem Faktor aus der Folge immer um Dreieckszahlen handelt ist nach der Gaußschen Summenformel [;y=8*{n(n+1)}/{2};] n--> unendlich.
Die 528 würden also an 11. Stelle stehen bei den Werten, die y annehmen kann. Da 8*66=528 bzw. [11*(12)]/2= 66 und 66*8= 528.

Werte die die linke Seite annehmen kann
--> [;10,36,136;528...;]
Die linke Seite müsste also zwei Bedingungen erfüllen.
1. L ist durch 8 teilbar
2. L durch 8 geteilt ist ist eine Dreieckszahl.

Wie man sieht erfüllt [;528 = 8*66;] dieses, also ist ist die Wurzel aus 528+1=529 eine Lösung für Y. Das wäre dann 23,-23-
Es müsste also eigentlich noch mehr geben, aber ich weiß grad nicht, wie da Regelmäßigkeiten aussehen.

Festzuhalten bleibt [;2^x(1+2^{x+1})= 8*i;] wobei i Element aus [;1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,...;]

3. Fall x<0

Größt mögliches Ergebnis wäre dann für x=-1

[;1/2(1+1) = 1;]

da y aber weiterhin die gleichen Werte annimmt wie in Fall 2 gibt es hier keine Lösung Crying or Very sad
jayjay83
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Anmeldungsdatum: 15.12.2008
Beiträge: 346

BeitragVerfasst am: 05 Jan 2009 - 16:17:54    Titel:

So, ich versuch jetzt nochmal die restlichen Lösungen für den Fall x>0 zu finden bzw. falls es keine mehr gibt, dieses zu beweisen.

Wie gesagt müsste

[;2^x(1+2^{x+1})/8;] eine Dreieckszahl sein.

Daraus folgt, wenn man [;2^3;] ausklammert.

[;2^{x-3}(1+2^{x+1});] muss eine Dreieckszahl sein.

Man müsste also berechnen, für welche x>0 bzw. x>3 und n e IN gilt:

[;2^{x-3}(1+2^{x+1}) = \frac{n(n+1)}{2};]

[;{2^{x-2}(1+2^{x+1})=n(n+1);]

[;2^{x-2}+2^{2x-1}= n(n+1);]

Hmm... hat jemand ne Idee?
BarneyG.
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Anmeldungsdatum: 16.11.2008
Beiträge: 668

BeitragVerfasst am: 05 Jan 2009 - 16:53:15    Titel:

Tja ... m.E. wird das in dieser Form wohl nicht ganz so einfach sein, etwas über die Existenz oder nicht-Existenz von weiteren ganzzahligen Lösungen auszusagen.

Zitat:
Es müsste also eigentlich noch mehr geben, aber ich weiß grad nicht, wie da Regelmäßigkeiten aussehen.


Hast du denn eine Lücke in meiner obigen Beweisskizze entdeckt? Oder was nährt sonst deine Hoffnung, dass es noch mehr ganzzahlige Lösungen geben müsste? Very Happy

Also i.a. verabscheue ich ja "empirische Argumente" ... aber ich habe mit einem Programm nach weiteren ganzzahligen Lösungen gesucht ... und KEINE gefunden. Aber das will natürlich nichts heißen ...
jayjay83
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Anmeldungsdatum: 15.12.2008
Beiträge: 346

BeitragVerfasst am: 05 Jan 2009 - 19:36:18    Titel:

Ich wollte mal schauen, ob man auf anderen Wege noch beweisen kann, dass es (wohl) keine Lösungen mehr gibt.

Ich hab doch nie behauptet, dass es mehr gibt...

Zitat:
So, ich versuch jetzt nochmal die restlichen Lösungen für den Fall x>0 zu finden bzw. falls es keine mehr gibt, dieses zu beweisen.


Ich hatte nur gehofft, noch was anderes zu sehen...

Hast du denn mal berechnet, was y höchstens sein kann?
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