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Quadratkurve
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Inevitable
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Anmeldungsdatum: 27.10.2007
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BeitragVerfasst am: 05 Jan 2009 - 18:12:41    Titel: Quadratkurve

An ein Quadrat werden zunächst an jede Seite Quadrate mit (1/9) des ursprünglichen Flächeninhaltes gehängt.

Frage? Grenzwert des Flächeninhaltes.

Problem? sind es dann jeweils 5^(n-1)* (1/9)^(n-1)

als Formel?
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
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BeitragVerfasst am: 05 Jan 2009 - 23:57:53    Titel:

[; q_n ;] sei die Anzahl der durch Iteration n hinzu gekommenen Quadrate (also alle kleinsten)
[; s_n ;] sei die Seitenlänge eines jeden kleinsten Quadrats nach Iteration n
[; a_n ;] bezeichne die durch Iteration n hinzu gekommenenen Flächeninhalt
[; A_n ;] bezeichne den gesamten Flächeninhalt nach Iteration n

Es lassen sich für diese Größen folgende Gesetzmäßigkeiten finden:
[; q_n = \begin{cases} n = 0 & 1 \\ n > 0 & 4 \cdot 3^{n-1} \end{cases} ;]
[; s_n = \frac{1}{3^n} s_0 ;]
[; a_n = q_n \cdot s_n^2 ;]

[; A_n = \sum_{k=0}^n \left( a_k \right) ;]
[; = a_0 + \sum_{k=1}^n \left( a_k \right) ;]
[; = s_0^2 + \sum_{k=1}^n \left( q_k \cdot s_k^2 \right) ;]
[; = s_0^2 + \sum_{k=1}^n \left( 4 \cdot 3^{k-1} \cdot \frac{1}{3^{2k}} s_0^2 \right) ;]
[; = s_0^2 + \frac{4}{9} s_0^2 \sum_{k=0}^{n-1} \left( \left( \frac{1}{3} \right) ^k \right) ;]
[; = s_0^2 \left( 1 + \frac{2}{3} \cdot \left( 1 - \frac{1}{3^n} \right) \right) ;]
[; = s_0^2 \left( \frac{5}{3} - \frac{2}{3^{n+1}} \right) ;]

Na und für n gegen unendlich liefert das einen Flächeninhalt von [; \frac{5}{3} s_0^2 ;].


Zuletzt bearbeitet von Annihilator am 06 Jan 2009 - 01:35:38, insgesamt einmal bearbeitet
Inevitable
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Anmeldungsdatum: 27.10.2007
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BeitragVerfasst am: 06 Jan 2009 - 00:00:35    Titel:

Ich kann das überhaupt nicht lesen!?
Annihilator
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BeitragVerfasst am: 06 Jan 2009 - 00:02:27    Titel:

Für TeX-Plugin siehe meine Signatur oder den obersten Pin des Mathematik-Forums!

EDIT - Gibt übrigens noch eine einfacherer Variante:
Da es keine Rolle spielt, wo man die neuen Quadrate ransetzt, kann man sich's so bequem wie möglich machen. Ich will's mal an einem Diagramm andeuten:

Code:

+-----------------------------------+-----------+---+
|                                   |           |   |
|                                   |           +---+
|                                   |           |   |
|                                   |           +---+
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|                                   +-----------+---+
|                                   |           |   |
|                                   |           +---+
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|                                   |           +---+
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|                                   +-----------+---+
|                                   |           |   |
|                                   |           +---+
|                                   |           |   |
|                                   |           +---+
|                                   |           |   |
+-----------------------------------+-----------+---+


Hier lässt sich die Gesamtfläche spielend leicht berechnen. Das ist aber noch nicht ganz die gesuchte Fläche, denn da wurden ja bei der ersten Iteration vier Quadrate hinzugefügt, statt nur drei. Macht aber nix, denn die Differenz lässt sich eben so einfach ermitteln. Natürlich kommt man auch auf eine Fläche von [; \frac{5}{3} s_0^2 ;].
Inevitable
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BeitragVerfasst am: 06 Jan 2009 - 17:07:22    Titel:

Hmm.. ich dachte eigentlich 5/9! Warum 5/3, woher kommt die 3 her? Sorry, aber mein PC ist alt und kann das Bild nicht anzeigen!?
Inevitable
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BeitragVerfasst am: 06 Jan 2009 - 18:56:16    Titel:

Kann mir bitte jemand antworten!?
Annihilator
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Beiträge: 6394
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BeitragVerfasst am: 06 Jan 2009 - 20:18:05    Titel:

Inevitable hat folgendes geschrieben:
Hmm.. ich dachte eigentlich 5/9! Warum 5/3, woher kommt die 3 her? Sorry, aber mein PC ist alt und kann das Bild nicht anzeigen!?

Was meinst du? Dieses Grüne Ascii-Art-Bild? Obwohl ich mir sicher bin, dass es bei dir so wie gewollt angezeigt wird: Es stellt ein Quadrat dar, an dessen rechte Seite drei Quadrate mit einem Neuntel der Fläche rangesetzt wurden. An dieser wurden rechts wieder kleinere Quadrate rangesetzt (und im Prinzip soll das so weiter gehen, aber das kann ich mit Ascii und so schlecht darstellen).

EDIT: Falls du den Code meinst: Wenn dich das Thema TeX nicht interessiert, dann sag es bitte, aber suche keine Ausflüchte von wegen Alter Rechner, denn damit hat das nicht im Geringsten was zu tun...
Inevitable
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Beiträge: 1166

BeitragVerfasst am: 06 Jan 2009 - 22:37:38    Titel:

Egal... wenn ihr meint. Bei mir sehe ich nur so ein Kästchen mit einem roten Kreuz...

Egal, meine Frage bleibt: Warum 5/3 und nicht 5/9?
Annihilator
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BeitragVerfasst am: 06 Jan 2009 - 22:53:46    Titel:

5/9 was? Die Fläche ist von der Seitenlänge des ersten Quadrates abhängig (bei meiner Notation s_0). Warum hab ich oben geschrieben.
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