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Vektorraum der kub. Polynome und dessen Abbildungsmatrix
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The-Mick
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Anmeldungsdatum: 26.03.2005
Beiträge: 207

BeitragVerfasst am: 05 Jan 2009 - 18:33:06    Titel: Vektorraum der kub. Polynome und dessen Abbildungsmatrix

Hallo,

ich habe eine Frage zu einer Aufgabe.
V sei der Vektorraum der kubischen Polynome der Form f(x)=ax^3+bx^2+cx+d mit a,b,c,d€R und T: V->V die Ableitung T(ax^3+bx^2+cx+d)=3ax^2+2bx+c
So, außerdem sei

f1(x)=1
f2(X)=x+1
f3(x)=x^2+x+1
f4(x)=x^3+x^2+x+1
die eine Basis. nun suche ich die Abbildungsmatrix bezüglich der obigen Basis. Dazu habe ich erstmal die Basenelemente abgebildet z.B T(f1(x))=0. Diese werden nun durch die Basis in einer Linearkombination dargestellt und die Koeffizienten sollten dann dei Spalten der Abbildungsmatrix ergeben. Das kommt aber nicht hin, da ich dann
0=µ1*1+µ2*(x+1)+µ3*(x^2+x+1)+µ4*(x^3+x^2+x+1)
1=µ1*1+µ2*(x+1)+µ3*(x^2+x+1)+µ4*(x^3+x^2+x+1)
2x+1=µ1*1+µ2*(x+1)+µ3*(x^2+x+1)+µ4*(x^3+x^2+x+1)
3x^2+2x+1=µ1*1+µ2*(x+1)+µ3*(x^2+x+1)+µ4*(x^3+x^2+x+1)
erhalte, also
T(f1(x))=µ1*f1(x)+µ2*f2(x)+...
So, µ1....µ4 sollte doch nun die Darstellungsmatrix liefern, aber das obige GLS Kann man doch nicht lösen, oder??
Helft mir mal bitte auf die Sprünge.

Vielen Dank,
Mick
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
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BeitragVerfasst am: 05 Jan 2009 - 18:38:55    Titel:

Das Gleichungssystem nicht, aber die einzelnen Gleichungen lassen sich lösen Wink



btw: Studierst du zufälligerweise an der RUB? Wink
The-Mick
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Anmeldungsdatum: 26.03.2005
Beiträge: 207

BeitragVerfasst am: 05 Jan 2009 - 18:53:10    Titel:

Ja, ganz genau. Du wahrscheinlich auch, wenn du Bochum als Ort angegeben hast. Ich werde es mal auf deine Weise versuchen.

Danke
The-Mick
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Anmeldungsdatum: 26.03.2005
Beiträge: 207

BeitragVerfasst am: 05 Jan 2009 - 19:18:54    Titel:

Ich hab eine Zwischenfrage:
wenn ich die GLeichungen einzeln löse habe ich z.B. eine Gleichung der Form
0=dx^3+(c+d)x^2+(b+c+d)x+a+b+c+d. Nun würde ich aber die x der Gleichung berechnen. Aber ich brauch doch die a,b,c,d , oder mach ich irgendwas grundlegend falsch?

Gruß, Mick
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 05 Jan 2009 - 19:37:51    Titel:

d = 0, c + d = 0, b + c + d = 0, a + b + c + d = 0



Denn:
ax³ + bx² + cx + d = 0 <=> a = b = c = d = 0, weil hier die 0 das Nullpolynom ist: 0 = 0x³ + 0x² + 0x + 0



Nebenbei bemerkt wurde das schon einmal in der Vorlesung genannt, Herr Dehling hat dort gesagt, dass es zu Verwirrung gekommen ist, wann zwei Polynome und wann zwei Abbildungen gleich sind Wink
The-Mick
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Anmeldungsdatum: 26.03.2005
Beiträge: 207

BeitragVerfasst am: 05 Jan 2009 - 20:19:01    Titel:

Ok vielen Dank, für die schnelle Hilfe.

Bist du eigentlich auch Student in Lina I?? Dafür hast du aber einiges drauf Wink

Gruß, Mick
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 05 Jan 2009 - 20:32:10    Titel:

Ne, bin eigentlich Schüler, aber Gasthörer in der LinAlgI Lesung Wink
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