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relativistische Kinematik
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Ph-Student
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Anmeldungsdatum: 16.06.2006
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BeitragVerfasst am: 09 Jan 2009 - 13:10:50    Titel: relativistische Kinematik

Weiß zufällig jemand wie man auf
vrel E1 E2 = Sqrt[(p1*p2)^2 - (m1 m2)^2]
kommt?

Ich muss einen Seminarvortrag über einen Streuvorgang halten und hätte gern die Herleitung obiger Formel, falls jemand fragt ...
armchairastronaut
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Anmeldungsdatum: 31.10.2005
Beiträge: 6744
Wohnort: Colonia Claudia Ara Agrippinensis

BeitragVerfasst am: 09 Jan 2009 - 16:24:50    Titel:

Ich nehme an, die Formel und die verwendete Symbolik sind jedermann bekannt?
Ph-Student
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Anmeldungsdatum: 16.06.2006
Beiträge: 71
Wohnort: Wien

BeitragVerfasst am: 09 Jan 2009 - 20:05:56    Titel:

Äh ja, sorry ...
Also zwei Teilchen streuen aneinander. p1 und p2 sind die Viererimpulse der Teilchen (alles vor dem Stoß). E1 und E2 sind die Energien, m1 und m2 die Massen und vrel der Betrag der Relativgeschwindigkeit.
Natürlich in Einheiten mit c=1, sonst würd sichs von den Einheiten her schon nicht ausgehen ...
as_string
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Anmeldungsdatum: 04.08.2006
Beiträge: 2792
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BeitragVerfasst am: 10 Jan 2009 - 02:23:51    Titel:

Hallo!
Zitat:
Also zwei Teilchen streuen aneinander. p1 und p2 sind die Viererimpulse der Teilchen (alles vor dem Stoß)

Das glaube ich aber weniger, dass das 4-Impulse sind. Dann wäre das Quadrat ja jeweils wieder die Masse im Quadrat und die Wurzel wäre immer 0.
Das sind mit Sicherheit normale 3-Impulse!

Ansonsten glaube ich irgendwie nicht, dass die Formel ganz richtig sein kann.

Also erstmal: Das vrel ist keine "Relativgeschwindigkeit", denke ich: Es ist die Differenz von zwei Geschwindigkeiten. Das ist in der SRT aber nicht das selbe: Relativgeschwindigkeit zwischen zwei Objekten z. B. ist immer die Geschwindigkeit, die das eine Objekt im Ruhesystem des anderen hat. Klassisch ist das zwar gerade die Differenz, aber in der SRT nicht, weil man da ja eigentlich die "relativistische Geschwindigkeitsaddition" anwenden muss. Mag jetzt etwas klugscheißerisch rüber kommen, aber ich finde das ziemlich wichtig.

Dann kann man mal schauen, was vrel ist. Wenn es z. B. v1-v2 ist, dann kann man das auch schreiben als:
v1-v2 = p1/E1 - p2/E2 = (p1·E2 - p2·E1)/(E1·E2)

Wenn man das jetzt mit E1·E2 multipliziert, dann entsprechen sich schon die beiden linken Seiten.
Bei der rechten Seite habe ich einiges probiert, z. B. E2 und E1 mit sqrt(p2²+m2²) ersetzt und so. Das sieht zwar dann schon etwas ähnlich aus, aber es kommt einfach nicht hin. Ich bin sogar der Meinung, dass ich was raus bekommen habe, was definitiv verschieden ist, so dass Deine Gleichung dann so nicht stimmen kann (oder ich mich verrechnet habe, natürlich).

Deshalb meine Bitte: Überprüfe nochmal ganz genau, dass das so richtig ist. Wenn die Formel so weiter verwendet wurde, schau mal, ob sie dann nicht doch etwas anders war und das hier nur ein Druckfehler oder so.

Dann: Wo hast Du die Formel her? Ist das ein Buch, oder im Internet? Kann man sich das mal im Kontext anschauen?

Gruß
Marco
Ph-Student
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Anmeldungsdatum: 16.06.2006
Beiträge: 71
Wohnort: Wien

BeitragVerfasst am: 10 Jan 2009 - 14:11:48    Titel:

Erstmal Danke für deine Antwort.
Also die Formel hab ich jetzt schon öfter gesehn. In meiner eigenen Mitschrift, in einem Skript über Teilchenphysik (ich finde grad den Link dazu nicht), in "Quantum Theory of Fields" von Weinberg und ich glaub in "Quantenmechanik 2" von Schwabl. Sollte also schon richtig sein so.

Zu p1 und p2: Das sind schon Viererimpulse. Das Quadrat der Massen würde man nur erhalten, wenn da (p1)²(p2)² stehen würde. Es wird aber erst das Skalarprodukt gebildet und dann quadriert.

Mit der Relativgeschwindigkeit hast du recht, das ist keine physikalische Geschwindigkeit. Da hast du mich jetzt aber erwischt, da ich eigentlich gar nicht so richtig weiß, wie vrel definiert ist.
Aber laut dem einen Skript müsste es vrel = |v1 - v2| sein, wobei v1 und v2 die 3er Geschwindigkeiten der Teilchen sind.
Dort fängt die Herleitung auch so an:
|v1 - v2| E1 E2 = |p1/E1 - p2/E2| E1 E2 = |p1 E2 - p2 E1|
Den Rest des Beweises geben sie dann als Übungsaufgabe *g*
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Anmeldungsdatum: 04.08.2006
Beiträge: 2792
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BeitragVerfasst am: 10 Jan 2009 - 14:21:13    Titel:

Ph-Student hat folgendes geschrieben:
Zu p1 und p2: Das sind schon Viererimpulse. Das Quadrat der Massen würde man nur erhalten, wenn da (p1)²(p2)² stehen würde. Es wird aber erst das Skalarprodukt gebildet und dann quadriert.

Ah, stimmt! Das hatte ich falsch gelesen! Muss ich nochmal anschauen, denke ich.

Ph-Student hat folgendes geschrieben:
Dort fängt die Herleitung auch so an:
|v1 - v2| E1 E2 = |p1/E1 - p2/E2| E1 E2 = |p1 E2 - p2 E1|
Den Rest des Beweises geben sie dann als Übungsaufgabe *g*

Aber das sind dann eben doch Dreier-Vektoren (bzw. hier die Beträge)! Sonst wäre doch v1 nicht gleich p1/E1.

Mmh... Ich muss das später nochmal anschauen...

Gruß
Marco
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Anmeldungsdatum: 04.08.2006
Beiträge: 2792
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BeitragVerfasst am: 10 Jan 2009 - 17:55:40    Titel:

Hallo!

Also...:
|v1-v2|·E1·E2 = p1·E2-p2·E1 = sqrt(p1²E2²+p2²E1²-2p1·p2·E1·E2)
= sqrt(p1²·(p2²+m2²) + p2²(p1²+m1²) - 2p1·p2·E1·E2)
= sqrt(p1²·p2²+p1²·m2² + p2²·p1²+p2²·m1² - 2p1·p2·E1·E2)
= sqrt((p1²·p2²+p1²·m2²+p2²·m1²+m1²m2²) -m1²m2²+ p2²·p1² - 2p1·p2·E1·E2) = sqrt((p1²+m1²)·(p2²+m2²) +p2²·p1² - 2·p1·p2·E1·E2 - m1²·m2²)
= sqrt((E1²·E2² + p1²p2² - 2·p1p2E1E2) - m1²·m2²)
= sqrt((E1·E2-p1·p2)² - m1²·m2²)

Die erste Klammer ist jetzt gerade das Produkt der 4-Vektoren zum Quadrat, wie Du es gesagt hattest...
Vielleicht kann man die Rechnung auch etwas vereinfachen, mir ist aber gerade nicht eingefallen, wie.

Gruß
Marco
Ph-Student
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BeitragVerfasst am: 10 Jan 2009 - 18:43:11    Titel:

Nicht schlecht ... da kann ich nur noch sagen: Sehr Geil!
Vielen Dank, dass du dir die Mühe machst und sowas ausrechnest Smile
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