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Frage zur Differenzierbarkeit einer Funktion
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cagr
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Anmeldungsdatum: 26.04.2006
Beiträge: 19

BeitragVerfasst am: 11 Jan 2009 - 11:37:11    Titel: Frage zur Differenzierbarkeit einer Funktion

Hallo zusammen,

ich habe eine kurze Frage zur Differenzierbarkeit einer Funktion:

Weshalb ist die Funktion f(x) = |x-2| nicht für alle x € R differenzierbar?

Danke
cagr


Zuletzt bearbeitet von cagr am 11 Jan 2009 - 17:40:26, insgesamt einmal bearbeitet
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 11 Jan 2009 - 12:02:56    Titel:

.
Zitat:
Weshalb sit die Funktion f(x) = |x-2| nich für alle x € R differenzierbar?

weil links- und rechts- seitiger Grenzwert des Differentialquotienten an der Stelle
x=2 verschiedene Werte haben..

ok?
cagr
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Anmeldungsdatum: 26.04.2006
Beiträge: 19

BeitragVerfasst am: 11 Jan 2009 - 17:43:09    Titel:

Ich verstehe nicht ganz, weshalb ich eine der Stelle x=2 eine Grenzwertbetrachtung machen muss?

Wenn ich x=2 einsetze, wird die Funktion 0. Wenn ich dann eine Ableitung an der Stelle mir vorstelle, wird die Ableitung ebenfalls null sein. Warum ist de Funktion dann nicht differenzierbar an dieser Stelle?

Vielen Dank für die Hilfe im Voraus.

Gruß
cagr
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 11 Jan 2009 - 17:56:39    Titel:

.
Zitat:
Ich verstehe nicht ganz, weshalb ich eine der Stelle x=2 eine Grenzwertbetrachtung machen muss?

hast du gefehlt, als der Begriff "Funktion ist differenzierbar" besprochen wurde?

die Diffbarkeit ist punktweise definiert
notwendig ist die Stetigkeit an der betreffenden Stelle
also dein Beispiel: f(x) = |x-2| ist an der Stelle x=2 stetig mit Funktionswert f(2)=0
das hast du ja erfasst.

um zu sehen, ob die Funktion f(x) an der Stelle x0 aber diffbar ist,
muss der Grenzwert des Differenzenquotienten [f(x)-f(x0)] / (x-x0)
untersucht werden..

mach das mal für dein Beispiel
du wirst sehen, dass der linksseitige Grenzwert an der Stelle x=2 gleich -1 und
der rechtsseitige Grenzwert gleich +1 ist
da beide verschieden sind, gibt es an der Stelle 2 keinen Grenwert des Differenzenquotienten,
dh es existiert dort also keine Ableitung

mach dir mal ein Bildchen, dann wirst du sehen, dass f(x) bei x=2 einen "Knick" hat..
also nichts mit Tangente und Steigung 0 oder so..

ok?
rammy
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Anmeldungsdatum: 30.10.2008
Beiträge: 54

BeitragVerfasst am: 11 Jan 2009 - 18:03:37    Titel:

Die Funktion hat an der Stelle 2 eine Knickstelle.

im Notfall im Wiki schauen, habe mir das auch vor paar monaten dort angeeignet war recht cool.
cagr
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Anmeldungsdatum: 26.04.2006
Beiträge: 19

BeitragVerfasst am: 11 Jan 2009 - 18:08:37    Titel:

Nein ich habe "nicht" gefehlt Wink

Jetzt habe ichs entdeckt. Mein Fehler war, dass ich die die Gerade wie eine Parabel gezeichnet habe. Dann sieht die Stelle x=2 aus, wie ein Scheitel einer Normalparabel.

Das war natürlich falsch. Wenn man es korrekt als Gerade zeichnet, sehe ich, dass es auf ein Knick läuft und die Funktion dann nicht differenzierbar ist, da es keine einheitliche Steigung gibt (von links neg. Steigung, von rechts positive).

Danke!
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