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dimension von Lie-Gruppen (GL(n,C) SL(n,C) etc..)
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Foren-Übersicht -> Physik-Forum -> dimension von Lie-Gruppen (GL(n,C) SL(n,C) etc..)
 
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TheHornedGod
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Anmeldungsdatum: 17.11.2005
Beiträge: 827

BeitragVerfasst am: 11 Jan 2009 - 16:00:04    Titel: dimension von Lie-Gruppen (GL(n,C) SL(n,C) etc..)

Hallo!

Ich hatte diese Frage heute Nacht schonmal gestellt, aber anscheinend wurde sie sowohl hier, als auch im Mathe-Forum, wo ich die Frage verlinkt hatte, weil sie nunmal aus dem Bereich der Mathematischen Physik ist, gelöscht. Warum, kA. Aber bitte liebe Mods, bevor ihr den hier auch löscht sagt mir bitte warum.

Frage in Kurzform:

Ich soll die Dimension verschiedenster Lie Gruppen berechnen. Namentlich:

GL(n,C) SL(n,C) U(n) SU(n) O(n) SO(n)

Ich hab die Dimensionen mittlerweile auf dem englischen Wiki nachgeschaut:

Dim{GL(n,C)} = n²
Dim{SL(n,C)} = n²-1

Dim{U(n)} = n²
Dim{SU(n)} = n²-1

Dim{O(n)} = n(n-1)/2
Dim{SO(n)} = n(n-1)/2

Ich weiss jedoch in den meisten Fälle nicht, wie man darauf kommt.
Klar isses mir dneke ich bei GL(n,C): nxn Matrix ⇒ n² Parameter. Bei SL(n,C) sins dann n²-1, da eine Zusatzbedingung (det=1) vorliegt.

Aber wie komm ich auf die restlichen? SU(n) würde ich verstehen, wenn ich wüsste, warum Dim{U(n)} = n² ist. Bei O(n) und SO(n) ist es mir noch komplett schleierhaft.

Wäre für Hilfe sehr dankbar.
An Mods: Bitte nicht ins Mathe-Forum verschieben. Ich leg da selber einen Link hierher an, damit alle Antworten in einem Thread zusammenkommen.
eagle05
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Anmeldungsdatum: 30.05.2006
Beiträge: 2481
Wohnort: Essen [NRW]

BeitragVerfasst am: 11 Jan 2009 - 18:28:43    Titel:

guck mal ob dir diese seite weiter helfen kann
http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~gastel/lie/lie.pdf
http://www.igt.uni-stuttgart.de/LstDiffgeo/Kuehnel/LieGruppen.pdf
TheHornedGod
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Anmeldungsdatum: 17.11.2005
Beiträge: 827

BeitragVerfasst am: 11 Jan 2009 - 18:39:59    Titel:

Hallo! Danke für die Links! Dann werd ich darin mal stöbern Smile.
TheHornedGod
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Anmeldungsdatum: 17.11.2005
Beiträge: 827

BeitragVerfasst am: 11 Jan 2009 - 22:46:49    Titel:

Hm, die Texte sind mir leider zu hoch^^. Und kann die Skripten aus Zeitgründen nicht von Anfang an Stück für Stück durchgehen.

Immerhin bin ich mir mittlerweile sicher, dass die jeweilige Dimension der Lie-Gruppe = der Anzahl der unabhänggen parameter in den darstellenden Matrizen ist.

Also:
Dim{GL(n,C)} → allgemeine nxn-Matrix → n² unabhängige Parameter

Dim{SL(n,C)} → nxn-Matrix mit det=1 → n²-1 unabhängige Parameter (ein Matrixeintrag kann über det=1 aus den anderen berechnet werden).

Aber wie man zB drauf kommt, dass eine orthgonale Matrix n(n-1)/2 unabhängige parameter hat ist mir nachwievor schleierhaft. Eventuell hilft da irgendwie weiter, dass bei einer orthogonalen Matrix det=±1 gilt.

Lustiger weise würde ich bei einer antisymmetrischen Matrix auf die n(n-1)/2 kommen Confused .

Jemand mehr Ahnung von Matrizen als ich? Wär dankbar Smile .
p-norm
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Anmeldungsdatum: 26.09.2006
Beiträge: 1375
Wohnort: Regensburg

BeitragVerfasst am: 11 Jan 2009 - 23:30:08    Titel:

hi...

sei Q orthogonale matrix, dann QQ^t=1, schreib die beziehung komponentenweise aus und siehe, dass du n bedingungen (Qij)²=1 findest und (n²-n)/2 bedingungen QijQkj=0, k!=i.(summation über j) Daraus folgt dann die beh...Wink
TheHornedGod
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Anmeldungsdatum: 17.11.2005
Beiträge: 827

BeitragVerfasst am: 12 Jan 2009 - 01:55:18    Titel:

hallo p-norm!

Ja für die Orthogonale hab ichs mitlerweile geschaft. Genauso wie du sagst. Die Seite hier hat mir den nötigen (also denselben) Tipp gegeben^^:
http://www.euclideanspace.com/maths/algebra/matrix/orthogonal/index.htm

Die restlichen muss ich mir noch überlegen Smile. Danke dir!
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