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Umgekehrte Kurvendisskussion (für Mathefreaks)
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Olivia
Gast






BeitragVerfasst am: 24 Apr 2005 - 22:39:52    Titel: Umgekehrte Kurvendisskussion (für Mathefreaks)

ich habe hier noch eine AUfgabe für EUCH:

Punktsymetrische Funktion 3. Grades geht duch Punkt P (1|-2).

Die Wendetangente ist parallel zu Kurvennormalen im
Punkt Q(1/3 * Wurzel(10 ) | ?)

ich kann nur eine Gleichung mit dem Punkt P aufstellen.
und ich weiss das die wendtangente steigung von 1/3 * Wurzel(10) hat und weiter ???????

Helft mir bitte und schreibt auch kurze erklärung dafür:
mir liegts eher an dem Verstehen als an der Lösung
DANKE

Grüß Olivia
Andromeda
Senior Member
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Senior Member


Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 24 Apr 2005 - 23:27:46    Titel:

Da die Kurve punktsymmetrisch ist, hast du neben
Punkt P (1|-2) noch den Punkt Q(-1|2).

Gehe allerdings dabei davon aus, dass die Kurve punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

Gruß
Andromeda
DMoshage
Senior Member
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Senior Member


Anmeldungsdatum: 31.03.2005
Beiträge: 691

BeitragVerfasst am: 24 Apr 2005 - 23:39:16    Titel:

Hallo Olivia,

Zuerst aus Punktsymmetrie folgt, dass es nur ungerade Potenzen von x gibt.

f(x) = ax³ + cx

Gleichung mit Punkt P(1,-2)
f(1) = a+c =-2 => c = -2-a

Jetzt Wendepunkt berechnen

f'(x) = 3ax² + c
f"(x) = 6ax = 0 => x = 0

Also Wendepunkt bei xw=0.

Die Wendetangente ist parallel zur Normalen bei xq = Wurzel(10)/3.
Die Wendetangent ist somit rechtwinklig zur Tangente in xq=>
f'(xw) * f'(xq) = -1

f'(xw ) = c = -2-a
f'(xq) = 3*(10/9)a + (-2-a) = (10/3)a -2 -a = (7/3)a - 2

f'(xw)*f'(xq) = ((7/3)a -2) * (-2-a) = (-14/3)a + 4 +(-7/3)a² + 2a =-(8/3)a+ 4 -(7/3)a² = -1

-8a+4-7a² = -3
a²+(8/7)a - (15/7) = 0

a1 = 1 und a2 = -15/7
c1 = -3 und c2 = 1/7

Probe
f(x) = x³ - 3

f(1) = 1³ - 3*1 = -2
f'(0) = -3
f'(xq) = 3*10/9 -3 = 10/3 - 3 = 1/3
-3 * 1/3 = -1

und
f(x) = -(15/7)x³ + x/7
f(1) = -15/7 + 1/7 = -14/7 = -2

f'(0) = 1/7
f'(xq) = (-15/7)*3*10/9 + 1/7 = - (5*10)/7 + 1/7 = -49/7 = -7
1/7 * (-7) = -1

Proben passen

Gruß
Dirk


Zuletzt bearbeitet von DMoshage am 25 Apr 2005 - 10:40:28, insgesamt einmal bearbeitet
Olivia
Gast






BeitragVerfasst am: 25 Apr 2005 - 00:16:40    Titel:

DANKE Dirk für die ausführliche Beschreibung

Aus dir werden noch Leute man.

Grüß Olivia
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