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Bewegungsgleichung und Potentielle Energie
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marcaurel
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Anmeldungsdatum: 17.10.2006
Beiträge: 22

BeitragVerfasst am: 14 Jan 2009 - 00:55:29    Titel: Bewegungsgleichung und Potentielle Energie

Ich habe ein Problem mit einer Umformung, von der Formel:

Bewegungsgleichung:

m * x''(t) = F(x(t)) soll ich beide seiten mit x'(t) multiplizieren, wobei ich auf:

m/2 * dx'(t)/dt = -d/dt * U(x(t)) kommen soll. U sei eine Funktion vom Ort, das Potential oder die potentielle Energie.

1.) kann mir jemand den/die Zwischenschritte aufzeigen bitte? ich komm einfach nicht drauf... oder ist es komplizierter, dann ist es wohl nicht so wichtig.

2.) später im Beispiel taucht der sogenannte Gradient von U(r) auf, kann mir da jemand erklären, wie man sich den Bildhaft vorstellen kann (ohne Mathematik)?

bitte um einen kleinen Schubs meiner Gedanken in die richtige Richtung Wink
armchairastronaut
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Anmeldungsdatum: 31.10.2005
Beiträge: 6744
Wohnort: Colonia Claudia Ara Agrippinensis

BeitragVerfasst am: 14 Jan 2009 - 07:16:25    Titel:

tatsächlich mit x'(t) multiplizieren? Nicht x(t)?

Stelle dir das Gravitationsfeld eines Himmelskörpers als Potenzialtrichter (oder Potenzialtopf) vor. Der Gradient sollte eigentlich so etwas wie die richtungsabhängige Steigung (bzw. Gefälle) des Trichters ausdrücken, je nachdem wo in dem Feld du dich gerade befindest und in welche Richtung du dich bewegst.

(wenn das jetzt Blödsinn war, bitte ignorieren).
marcaurel
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Anmeldungsdatum: 17.10.2006
Beiträge: 22

BeitragVerfasst am: 14 Jan 2009 - 09:34:50    Titel:

danke, über den Gradient hab ich grad versucht mich mit Hilfe von Wiki schlau zu machen, es ging um die Gleichung:

F(r) = -gradU(r)

ganz schlau daraus bin ich leider immer noch nicht geworden. Zur Gleichung aus Frage 1: ich habs aus einem Skript, gut möglich dass ein Schreibfehler drin ist. Habs mir auch grad mit x(t) anstatt mit x'(t) angesehn... ich komm nicht drauf, wird da dazwischen differenziert? Zwischen den Beiden Gleichungen steht im Skript nur: "Multiplizieren wir beide Seiten mit x'(t), so kann die obige Gleichung auch so geschrieben werden."

hmm
Mik05
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Anmeldungsdatum: 02.05.2006
Beiträge: 349

BeitragVerfasst am: 14 Jan 2009 - 11:55:27    Titel:

Ich meine, dass auf der linken Seite ein Schreibfehler ist. Es müsste d(x'(t))^2/dt heißen. Wenn man vom Ergebnis zurückrechnet, erhält man für die linke Seite:
d/dt x'(t)^2 = 2 x'(t) x''(t)
Auf der rechten Seite dann:
d/dt U(x(t)) = d/dx U(x(t)) d/dt x(t) = -F(x(t)) x'(t)
marcaurel
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Anmeldungsdatum: 17.10.2006
Beiträge: 22

BeitragVerfasst am: 14 Jan 2009 - 12:09:56    Titel:

danke für die Mühe, ich schau mir das mal genauer an und probiers zu rechnen in den nächsten freien Minuten
ehos
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Anmeldungsdatum: 08.01.2009
Beiträge: 87
Wohnort: Vorpommern

BeitragVerfasst am: 14 Jan 2009 - 13:13:32    Titel:

Zuerst eine allgemeine Erklärung des Gradienten:

Allgemein ist der Gradient ein Vektorfeld, das einem Skalarfeld zugeordnet wird. Die Vektorpfeile des Gradienten zeigen immer in die Richtung des größten Anstieges des Skalarfeldes, wobei die Länge der Vektorpfeile ein Maß für die Zunahme des Skalarfeldes in diese Richtung ist.

Beispiel 1:
Auf topografischen Karten werden Gebirge mittels Höhenlinien dargestellt. (Höhe=Skalarfeld). Der Gradient ist dann ein Vektorfeld, das in jedem Punkt der Karte in Richtung des steilsten Anstieges zeigt (bergauf), und die Pfeillänge dieses Gradienten ist ein Maß für den Anstiegswinkel an dieser Stelle.

Beispiel 2:
Beim Wetterbericht wird auf der Wetterkarte der Luftdruck durch so genannte Äquipotentiallinien angezeigt. Die Luft hat immer das Bestreben von hohem Druck zum niedrigen Druck zu strömen (Wind). Der Wind ist um so stärker, je größer der Druckunterschied ist. Der negative Gradient des skalaren Druckfeldes ist also das „Wind-Feld“, dessen Vektorpfeile somit in Richtung der Druckabnahme zeigen und dessen Länge die Windstärke ist. (Von anderen Effekten wie der Corioliskraft usw sehe ich hier mal ab.)

Beispiel 3:
Wir betrachten ein Raumschiff im Erdfeld. Dieses hat an jedem Punkt eine bestimmte potentielle Energie U(x). Der Gradient dieses Skalarfeldes ist gerade die negative Erdanziehungskraft -F. Sie zeigt – wie oben beschrieben – in Richtung der größten Abnahme der potentiellen Energie.
------------------------------
Nun zu Deiner Gleichung

m*x``=F

Die Kraft auf der rechten Seite fassen wir wie in Beispiel 3 als Erdanziehungskraft eines Satelliten auf. Wir schreiben diese Kraft als negativen Gradienten F=-grad(U), wobei U - wie oben beschrieben - die potenzielle Energie des Sateliten ist. (Man kann übrigens nicht alle Kräfte als Gradienten darstellen, z.B. keine Reibungskraft.)

m*x``=-grad(U)

Dies multiplizieren wir mit der Geschwindigkeit x`

m*x``x`=x`*grad(U)

Zur weiteren Umformung verwendet man auf beiden Seiten die normale Kettenregel (also die Regel zu Ableiten verketteter Funktionen). Diese kennst Du sicher aus der Schule. Diese Regel besagt (volkstümlich): Die Ableitung einer verketteten Funktion ist das Produkt aus „innerer Ableitung“ und !äußerer Ableitung“.

Die rechte Seite kann man mit der Kettenregel als Zeitableitung der verketteten Funktion U auffassen, wobei man U als „äußere“ Funktion verstehen muss, die vom Ort x abhängt („innere“ Funktion), der seinerseits wieder von der Zeit abhängt, also U=U[x(t)].

Ebenfalls nach der Ketteregel ist die linke Seite als die Ableitung des halben Geschwindigkeitsquadrates 0,5 (x^2)` nach der Zeit zu verstehen.

Das ergibt wie gewünscht

m (x`^2)´=U`
marcaurel
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Anmeldungsdatum: 17.10.2006
Beiträge: 22

BeitragVerfasst am: 18 Jan 2009 - 15:02:07    Titel:

hey danke, das war sehr anschaulich Smile denke jetzt hab ichs kapiert.
marcaurel
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Anmeldungsdatum: 17.10.2006
Beiträge: 22

BeitragVerfasst am: 01 Feb 2009 - 23:13:38    Titel:

oh mann, ich versteh zwar jetzt den Gradienten ganz gut (glaub ich) aber ich komm einfach nicht auf die Zwischenschritte... Kettenregel... ich hab die nie bei Abgeleiteten Variablen angewandt, ich hab mir jetzt den Kopf zerbrochen und abgeleitet, versucht zurück zu rechnen mit Integration, aber ich komm einfach nicht drauf.

Es stimmt, es war ein Schreibfehler drin, es gehört wirklich ein Quadrat dazu, hab mir ein Buch ausgeborgt, das Vorlage für dieses Skriptum war... leider auch dort keine Zwischenschritte drin.

Ich weiß, rechnen sollte ich schon selbst können, aber kanns mir vielleicht doch jemand vorrechnen, mit allen Zwischenschritten? Sad

ich tu mir bei folgendem schwer:

m*x''x' = x'*grad(U)
Kettenregel von der Linken Seite

aber: was ist von m*x''x' die innere und was die äußere Ableitung. Eine Stelle wo ich das verwenden könnte hat für mich diese Form: F(x(t))



weiters auf der rechten Seite:
Wie komme ich von F(x(t)) auf - d/dt U(x(t))

Ich blicke da leider rein mathematisch nicht durch Confused Hat noch jemand Zeit von euch?
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