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Kann mir bitte jemand helfen?
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Andy16
Gast






BeitragVerfasst am: 25 Apr 2005 - 14:28:53    Titel: Kann mir bitte jemand helfen?

Hallo, kann mir bitte jemand helfen?

Wie lautet die Funktionsgleichung?
a) Eine ganz ranzrationale Funktion dritten Grades hat die gleichen Nullstellen wie die Funktion g(x)=x² - x - 2. Sie schneidet die y-Achse mit der Steigung -3 im Punkt P(0|-2).

b)Eine ganz rationale Funkion dritten Grades, die ein Extremum im Ursprung hat, schneidet die x-Achse bei P(1|0) unter einem Winkel von 45°.
DMoshage
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Anmeldungsdatum: 31.03.2005
Beiträge: 691

BeitragVerfasst am: 25 Apr 2005 - 15:17:12    Titel:

Hallo Andy16,

zu a)

gesucht f(x) = ax³+bx³+cx+d

Zuerst Nullstellen von g(x) = x²-x-2 = (x+1)(x-2) Nullstellen vi x=-1 und x=2
=>
f(-1) = 0 und f(2) = 0

Schnittpunkt mit y-Achse bei P(0,-2) => f(0) = -2
und Steigung bei x0= -3 => f'(0) = -3

Nehmen wir zuerst die Bedingung f(0) = -2
f(0) = a*0 + b*0 + c*0 + d = d = -2

Jetzt die Steigung an der Stelle 0
f'(0) = 3ax² + 2bx + c = 3a*0 + 2b*0 + c = c = -3

Jetzt f(-1) = 0
f(-1) = a(-1)³ + b(-1)² + (-1)c + d = -a +b +3 -2 = -a + b + 1 = 0
b = a-1

Nun f(2) = 0
f(2) = a2³ + b2² + 2c + d = 8a + 4(a-1) -6 -2 = 12a -12 = 0
a = 1 => b = a-1 = 0

Funktion lautet:
f(x) = x³ -3x-2

Gruß
Dirk
Scherzkrümel
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Anmeldungsdatum: 07.01.2005
Beiträge: 115
Wohnort: Sankt Augustin

BeitragVerfasst am: 25 Apr 2005 - 15:23:15    Titel:

Hi Andy!

Eine ganzrationale Funktion 3. Grades sieht so aus: f(x)=ax³+bx²+cx+d
Die erste Ableitung brauchst du auch noch: f'(x)=3ax²+2bx+c

So, dann berechnest du noch die Nullstellen der anderen Funktion! Die lauten dann (-1/0) und (2/0)

Wenn du das in die Funktion einsetzt bekommst du die ersten beiden Gleichungen:
I -a+b-c+d=0
II 8a+4b+2c+d=0

"Sie schneidet die y-Achse mit der Steigung -3 im Punkt P(0|-2). "
Das bedeutet als erstes Mal, dass der Punkt (0/-2) auf dem Graphen liegt! => einsetzen: III d=-2

Und da die erste ABleitung die Steigung ist, setzt du auch das ein:
IV c=-3

Wenn du das dann ausrechenst bekommst du die Lösung: x³-3x-2

Die Probe kannst du machen in dem du zB die Nullstellen ausrechnest! Dazu habe ich aber keinen Bock mehr! Razz
Ich hoffe ich hab mich net verrechnet!
LG Steffi
DMoshage
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Anmeldungsdatum: 31.03.2005
Beiträge: 691

BeitragVerfasst am: 25 Apr 2005 - 15:24:43    Titel:

zu b)

f(x) = ax³+bx²+cx +d

Extremwert im Ursprung => f(0) = 0 und f'(0) = 0

Schnittpunkt mit x-Achse bei P(1,0) => f(1) = 0
mit Steigung von 45° => f'(1) = 1

zuerst f(0) = 0
f(0) = a*0 + b*0 + c*0 +d = 0 => d=0
f'(0) = 3ax² + 2bx + c = 3a*0 + 2b*0 + c = 0 => c=0

f(1) = 0
f(1) = a + b = 0 => b = -a

f'(1) = 3a + 2b = 3a -2a = 1 => a=1 => b=-1

Funktion ist f(x) = x³ - x²

Gruß
Dirk
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