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Summe dreier Quadrate
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Tiamat
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Anmeldungsdatum: 25.01.2008
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Wohnort: Aurich

BeitragVerfasst am: 19 Jan 2009 - 15:35:00    Titel: Summe dreier Quadrate

Hallo,

zu zeigen ist, dass x² + y² + z² = 815 nicht lösbar ist.

815 = 5*163, wobei 163 eine Primzahl ist. Ich habe dann erstmal die quadratischen Reste mod 5 betrachtet, da gibt es nur 1 und 4.
Aus x² + y² + z² ≡ 0 mod 5 folgt schon x² ≡ 0 mod 5 oder y² ≡ 0 mod 5 oder z² ≡ 0 mod 5, also x ≡ 0 mod 5 oder y ≡ 0 mod 5 oder z ≡ 0 mod 5, weil ich mit den Resten 1 und 4 nicht 0 erreichen kann, denn
1 + 1 + 1 = 3
1 + 1 + 4 = 6 = 1
1 + 4 + 4 = 9 = 4
4 + 4 + 4 = 12 = 2

Was aber bringt mir diese Erkenntnis? Ich kann ja nun nicht alle quadratischen Reste mod 163 betrachten...
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24252

BeitragVerfasst am: 19 Jan 2009 - 16:49:37    Titel:

Betrachte mal eher die Kongruenz modulo 4...

Cyrix
Tiamat
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Anmeldungsdatum: 25.01.2008
Beiträge: 2092
Wohnort: Aurich

BeitragVerfasst am: 19 Jan 2009 - 17:54:31    Titel:

Also, mod 4 gibt es nur den quadratischen Rest 1, aber da 815 ≡ 3 mod 4 ist, kann ich doch x² + y² + z² ≡ 1 + 1 + 1 ≡ 3 mod 4 bilden. Wo ist denn da der Widerspruch?
Tiamat
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Anmeldungsdatum: 25.01.2008
Beiträge: 2092
Wohnort: Aurich

BeitragVerfasst am: 20 Jan 2009 - 21:31:47    Titel:

Ich probiere mal ein bisschen:
Die 3 lässt sich nur aus 1 + 1 + 1 kombinieren
--> für keine der Zahlen x², y², z² gilt x² ≡ 0 mod 4
--> keine der Zahlen x², y², z² ist durch 4 teilbar
--> keine der Zahlen x, y, z ist durch 2 teilbar
--> x,y,z sind alle ungerade
--> x², y², z² sind alle ungerade
--> ?
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 20 Jan 2009 - 21:35:24    Titel:

Versuch dein Glück doch mal mod 8 Wink
Tiamat
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Anmeldungsdatum: 25.01.2008
Beiträge: 2092
Wohnort: Aurich

BeitragVerfasst am: 20 Jan 2009 - 21:48:11    Titel:

Aha, jetzt fällt der Groschen: 815 ≡ 7 mod 8, aber 7 lässt sich aus den quadratischen Resten 0, 1 und 4 nicht kombinieren:
0+0+0 = 0
0+0+1 = 1
0+1+1 = 2
1+1+1 = 3
0+0+4 = 4
0+4+4 = 8 = 0
4+4+4 = 12 = 4
1+1+4 = 6
1+4+4 = 9 = 1
0+1+4 = 5

Danke!
jayjay83
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Anmeldungsdatum: 15.12.2008
Beiträge: 346

BeitragVerfasst am: 20 Jan 2009 - 22:42:38    Titel:

Du kannst deine Fälle noch etwas vereinfachen...
815 ist ungerade:
Das heißt:
genau eine der Zahlen x,y,z ist ungerade oder x,y und z sind ungerade.
Das macht deine Fallunterscheidung noch etwas einfacher.
1.Fall: x,y und z ungerade
x²+y²+z² ≡ 3 ( 8 )
2.Fall: genau eine der Zahlen x,y,z ist ungerade.
O.B.d.A. sei x ungerade, y,z gerade
y,z ≡ 0,2,4,6 ( 8 )
--> y²,z² ≡ 0,4 ( 8 )
2.1.
y²,z² ≡ 0 ( 8 ) --> x²+y²+z² ≡1 ( 8 )
2.2.
y² ≡ 0 ( 8 ), z ≡ 4 ( 8 ) --> x²+y²+z² ≡ 5 ( 8 ) (x,y vertauschen analog)
2.3
y²,z² ≡ 4 ( 8 ) --> x²+y²+z² ≡ 1 ( 8 )

Also x²+y²+z² ≡ 1 oder 5 mod 8.
Tiamat
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Anmeldungsdatum: 25.01.2008
Beiträge: 2092
Wohnort: Aurich

BeitragVerfasst am: 21 Jan 2009 - 06:41:40    Titel:

Guter Gedanke, dann muss man bei diesen Aufgaben nicht immer die ganzen Kombinationen durchgehen...
Danke!
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