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Partialbruchzerlegung
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WhichMan
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Anmeldungsdatum: 13.03.2008
Beiträge: 303

BeitragVerfasst am: 20 Jan 2009 - 02:39:54    Titel: Partialbruchzerlegung

Hallo,
kann mir jmd. sagen wie ich bei der Partialbruchzerlegung den Koeffizientenvergleich durchführe. Habe ja die Lösungen vor mir aber ich sehe es einfach nicht.
Z.B.

x / (x+1)^3 =....

folgt dann

...= Ax^2+2(A+B)x+B+C

Nun ergibt der Koeffizientenvergleich

A=0, (2A+B)=1 und B+C=0.

Wie wurde denn das gefunden, was muss ich tun?
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1890
Wohnort: Atlantis

BeitragVerfasst am: 20 Jan 2009 - 05:57:36    Titel: Ansatz-Gleichung

... mit Hauptnenner multiplizieren und zur Bestimmung der Koeffizienten z. B. einen der beiden folgenden Wege einschlagen:
° Koeffizienten-Vergleich und Lösen eines LGS.
° Einsetzen der Nenner-Nullstellen in die erhaltene Gleichung (bzw. hier auch noch in 1. u. 2. Ableitung davon) .

Bei dem vorliegenden Beispiel ist die Nenner-Nullstelle dreifach -1.


Zuletzt bearbeitet von xeraniad am 20 Jan 2009 - 09:26:21, insgesamt 2-mal bearbeitet
WhichMan
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Anmeldungsdatum: 13.03.2008
Beiträge: 303

BeitragVerfasst am: 20 Jan 2009 - 07:02:32    Titel:

Äh danke aber jetzt mal langsam.

Bis hier Ax^2+2(A+B)x+B+C

ist mir noch alles klar, dass ist nicht schwer, aber wie soll ich dann A=0, (2A+B)=1 und B+C=0 ermitteln? Mit nem LGS?

Ich hab doch nur die eine Gleichung.

.
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1890
Wohnort: Atlantis

BeitragVerfasst am: 20 Jan 2009 - 07:58:53    Titel: da ist mehr drin

Für WhichMans Beispiel "x÷(x+1)³" gilt ein Ansatz "C÷(x+1)³ +B÷(x+1)² +A÷(x+1)" {gemäß z. B. PBZ-wiki}.
Multiplikation der Ansatz-Gleichung "x÷(x+1)³ = C÷(x+1)³ +B÷(x+1)² +A÷(x+1)" mit dem Hauptnenner {"(x+1)³"} liefert die wichtige Gleichung "x = C +B·(x+1) +A·(x+1)²" {woraus wie bald ersichtlich insgesamt 3 Gleichungen gemacht werden können}.

Zur Bestimmung der gesuchten Koeffizienten {A…C} gibt es verschiedene Möglichkeiten, wovon hier einige gezeigt werden sollen.

° Koeffizientenvergleich: Ausmultiplizieren des Polynoms in x rechts ergibt "x = A·x² +(B+2·A)·x +C+B+A". Koeffizientenvergleich ergibt die drei Gleichungen "A = 0", "B+2·A = 1" und "C+B+A = 0". Dies ist ein LGS mit 3 Unbekannten und so mit Lösung C = -1 und B = 1. Aber wer lässt sich schon gerne eine Lösungsmethode vorschreiben Question Selbst andere Wege finden ist viel spannender Exclamation

° Einsetzen der Nullstelle{n}, hier die dreifache Nullstelle -1.
-1 in "x = C +B·(x+1) +A·(x+1)²" einsetzen → ein Koeffizient kommt raus (C = -1).
"x = C +B·(x+1) +A·(x+1)²" nach x ableiten →{"1 = 2·A·x + B+2·A"} u. wieder Nullstelle -1 für x einsetzen → ein weiterer Koeffizient kommt raus (B = 1). Nochmals ableiten ergibt "0 = 2·A", wo es hier nix mehr einzusetzen gibt. Das Ableiten war einzig aufgrund mehrfacher Nullstelle erforderlich.
Gemäß meiner Ansicht verursacht die 2. Methode normalerweise weniger Aufwand.

° Für die PBZ von [; f(x) = \frac{x^m}{(x+a)^n} ;], [; n \gt m ;] gibts noch eine weitere Methode. Das [; x ;] im Zähler darf durch [; x+a \ -a ;] ersetzt werden [; f(x) = \frac{(\overbrace{x+a}^{} \ -a)^m}{(x+a)^n} ;].
Hiermit folgt [; f(x) = \frac{\sum_{k=0}^{m} {m \choose k} (x+a)^{m-k} \cdot (-1)^k \cdot a^k}{(x+a)^n} ;] und [; f(x) = \sum_{k=0}^{m} {m \choose k} (-1)^k \cdot \frac{a^k}{(x+a)^{n-m+k}} ;].
Beim vorliegenden Beispiel sind [; m = 1 ;] und [; \ n = 3 ;], das ergibt [; f(x) = \frac{1}{(x+a)^2} - \frac{a}{(x+a)^3} ;].


Zuletzt bearbeitet von xeraniad am 22 Jan 2009 - 07:52:50, insgesamt 2-mal bearbeitet
WhichMan
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Anmeldungsdatum: 13.03.2008
Beiträge: 303

BeitragVerfasst am: 22 Jan 2009 - 05:51:53    Titel:

Yo alles Takko eraniad und vielen Dank.

Es lag ja garnicht an dir oder meinem Übungsbuch, ich habe es mehrere male gerechnet und zumeist (Chaos Very Happy ) auch richtig, aber irgendwie ziehmlich verdutzt auf die ergebnisse geschaut und gleich erneut angesetzt.

Was solls man ist wieder um einen rechenschritt weiter - Hab es aber erst nur mit dem LGS gemacht, mit der Ableitung hats leider noch nicht geklappt, werde mich aber auch erstmal der Sache im komplexenzahlenbereich nähern.

Bis die Tage Wink
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