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Komplexwertige Funktion bestimmen
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Tiamat
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Anmeldungsdatum: 25.01.2008
Beiträge: 2092
Wohnort: Aurich

BeitragVerfasst am: 21 Jan 2009 - 06:59:53    Titel: Komplexwertige Funktion bestimmen

Hallo,

es soll eine in C holomorphe Funktion f(x,y) = u(x,y) + i*v(x,y) bestimmt werden, deren Realteil die Funktion u(x,y) = (sin x + cos x)*(e^y + e^(-y)) ist.

Ich hab mir dazu folgendes gedacht:
Wenn die Funktion in C holomorph sein soll, muss sie überall die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllen, also du/dx = dv/dy und du/dy = -dv/dx (das "d" soll für das Differenzierungszeichen stehen).

du/dx = (cos x - sin x)*(e^y + e^(-y))

du/dy = (sin x + cos x)*(e^y - e^(-y))

Also ist

dv/dx = (sin x + cos x)*(e^(-y) - e^y)

dv/dy = (cos x - sin x)*(e^y + e^(-y))

D.h. ich muss einmal eine Stammfunktion zu v nach der Variablen x bilden und einmal nach der Variablen y. Das wäre dann:

v1(x,y) = (sin x - cos x)*(e^(-y) - e^y)

v2(x,y) = (cos x - sin x)*(e^y - e^(-y)) = (-1)*(sin x - cos x)*(-1)*(e^(-y) - e^y) = (sin x - cos x)*(e^(-y) - e^y)

Also lautet die Funktion v(x,y) = (sin x - cos x)*(e^(-y) - e^y)

Stimmt das soweit? Habe ich irgendetwas übersehen? Muss ich z.B. noch irgendwelche Konstanten angeben, die beim Ableiten wegfallen o.ä.?
indiemischa
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Anmeldungsdatum: 07.07.2008
Beiträge: 186
Wohnort: CH

BeitragVerfasst am: 21 Jan 2009 - 11:16:05    Titel:

hi

das sieht alles vernünftig aus (nachgerechnet hab ichs nicht aber die Ideen sehen ok aus)

Ich glaube bei der Integration wars ähnlich wie beim Bestimmen eines Potentials:

Wenn du die Teilfunktion du/dx nach x integrierst, besteht die Integrations"konstante" aus einer Funktion die nur von y abhängt g(y)

Wenn du anschliessend du/dy nach y integrierst besteht jene Konstante aus h(x)

Wenn du jetzt beide Resultate vergleichst, siehst du schnell was die Konstanten sein müssen wenn es denn welche gibt. (nämlich wenn bei der Integration von du/dx ein additiver Term rauskommt der nur von x abhängt und umgekehrt)
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