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Summe von p-ten Potenzen
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Tiamat
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Anmeldungsdatum: 25.01.2008
Beiträge: 2092
Wohnort: Aurich

BeitragVerfasst am: 21 Jan 2009 - 19:37:40    Titel: Summe von p-ten Potenzen

Hallo, hier nochmal eine Aufgabe aus der ZT, die ich einfach nicht geknackt bekomme:

* p und q seien ungerade Primzahlen
* es gibt paarweise teilerfremde Zahlen x,y,z € Z
* es gilt ggT(x+y,pq) = 1
* es gilt x^p + y^p = q*z^p

--> Zeigen Sie, dass es ein w € Z gibt mit x + y = w^p

Als Tipp wird gegeben, dass man x^p + y^p in ein Produkt zweier teilerfremder Zahlen soll...

Wie fängt man an? Ich habe keine Ahnung...
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24251

BeitragVerfasst am: 21 Jan 2009 - 20:45:35    Titel:

Hallo!

Zeige, dass (x+y) die linke seite der Gleichung teilt, und dass der andere Faktor dann teilerfremd zu (x+y) ist. Zeige weiter, dass (x+y) dann z^p teilt, und dass jeder Primfaktor r von (x+y) damit dann mit durch p teilbarer Vielfachheit in z^p, und damit in (x+y) vorkommt.

btw: Für die Aufgabe ist irrelevant, dass p,q Primzahlen sind, es genügt, dass p ungerade und ggT(x+y,q)=1 ist. Auch braucht man nur ggT(x,y)=1...

Cyrix
Tiamat
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Anmeldungsdatum: 25.01.2008
Beiträge: 2092
Wohnort: Aurich

BeitragVerfasst am: 23 Jan 2009 - 13:45:11    Titel:

Hm, wie zeige ich denn, dass (x+y) ein Teiler von (x^p + y^p) ist?

Aber wenn ich das hätte, dann wäre (x+y) | (x^p + y^p), also (x+y) | qz^p. Da nach Voraussetzung ggT(x+y,pq) = 1 ist, ist auch ggT(x+y,q) = 1, gilt dann schon (x+y) | z^p.

...und dann? Sad
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Anmeldungsdatum: 26.06.2007
Beiträge: 1034
Wohnort: Aachen

BeitragVerfasst am: 23 Jan 2009 - 13:52:03    Titel:

Bei einer Sache kann sogar ich weiterhelfen Smile

x^p+y^p=x^p-(-y)^p=(x+y)(....)
Tiamat
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Anmeldungsdatum: 25.01.2008
Beiträge: 2092
Wohnort: Aurich

BeitragVerfasst am: 23 Jan 2009 - 13:57:58    Titel:

Ja, an den dritten Binom habe ich auch schon gedacht. Aber kann ich den denn nicht nur dann anwenden, wenn der Exponent p gerade ist? Z.B. bei (x^6 + y^6) = (x^3)^2 + (y^3)^2 = (x^3)^2 - -(y^3)^2 = (x^3 + -y^3)(x^3 - -y^3) = (x^3 - y^3)(x^3 + y^3). Das hätte ich doch nicht machen können, wenn p ungerade wäre, oder?
Cheater!
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Anmeldungsdatum: 28.10.2007
Beiträge: 5225
Wohnort: Stuttgart

BeitragVerfasst am: 23 Jan 2009 - 14:02:37    Titel:

Gerade weil das p ungerade ist, geht der Schritt.

x^p - (-y)^p = x^p - (-1)^p * y^p

da p ungerade => (-1)^p = -1

=> x^p + y^p
Tiamat
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Anmeldungsdatum: 25.01.2008
Beiträge: 2092
Wohnort: Aurich

BeitragVerfasst am: 23 Jan 2009 - 14:17:27    Titel:

Gut, aber wie holst du aus z.B. x^5 + y^5 den Faktor x+y heraus? Wie soll ich da den dritten Binom anwenden?
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Anmeldungsdatum: 26.06.2007
Beiträge: 1034
Wohnort: Aachen

BeitragVerfasst am: 23 Jan 2009 - 14:19:55    Titel:



x^5+y^5=x^5-(-y)^5=(x-(-y))(...)=(x+y)(...)
Tiamat
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Anmeldungsdatum: 25.01.2008
Beiträge: 2092
Wohnort: Aurich

BeitragVerfasst am: 23 Jan 2009 - 14:42:10    Titel:

Okay, verstanden. Wie mache ich dann an der Stelle (x+y) | z^p weiter? Das bedeutet ja z^p = k*(x+y)...
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24251

BeitragVerfasst am: 23 Jan 2009 - 14:52:57    Titel:

cyrix42 hat folgendes geschrieben:
Zeige weiter, dass (x+y) dann z^p teilt, und dass jeder Primfaktor r von (x+y) damit dann mit durch p teilbarer Vielfachheit in z^p, und damit in (x+y) vorkommt.


Cyrix
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