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Nullstellen des komplexen Sinus?
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Nullstellen des komplexen Sinus?
 
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dr.dentz
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Anmeldungsdatum: 07.02.2008
Beiträge: 36

BeitragVerfasst am: 21 Jan 2009 - 22:40:26    Titel: Nullstellen des komplexen Sinus?

Wie berechne ich die Nullstellen des Komplexen Sinus in ganz |C?

Wenn ich sage

sin[z]=(exp[iz]-exp[-iz])/2i

Kriege ich nach ein bisschen umformen nur raus

x=0, y=0

für z=x+iy

Ich hab nur nicht das Gefühl, dass mir das weiterhilft...
Cheater!
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Anmeldungsdatum: 28.10.2007
Beiträge: 5225
Wohnort: Stuttgart

BeitragVerfasst am: 21 Jan 2009 - 22:43:58    Titel:

Der Sinus wird nur auf der reellen Achse gleich Null. Du brauchst also garnicht ins Komplexe zu gehen.
dr.dentz
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Anmeldungsdatum: 07.02.2008
Beiträge: 36

BeitragVerfasst am: 21 Jan 2009 - 22:45:47    Titel:

Gut zu wissen!
Nur wie beweise ich das?
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
Wohnort: (hier nicht mehr aktiv)

BeitragVerfasst am: 21 Jan 2009 - 22:50:09    Titel:

Noch ein kleiner Nachweis dessen, was Cheater! schrieb:

(0 = sin(x) = (exp(ix) - exp(-ix)) / (2i))
--> (exp(ix) = exp(-ix))
--> (exp(2ix) = 1)
--> (X = ln(1) / (2i) = i * 2pi * Z / (2i) = pi * Z)
Cheater!
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Anmeldungsdatum: 28.10.2007
Beiträge: 5225
Wohnort: Stuttgart

BeitragVerfasst am: 21 Jan 2009 - 22:52:28    Titel:

z.B. darüber

sin(a+ib) = sin(a)*cosh(b) + i*cos(a)*sinh(b) Kann man über die Eulerformel beweisen

Es muss also gelten

sin(a)*cosh(b) = 0 => a=k*pi
cos(a)*sinh(b) = 0 => a=pi/2+k*pi ODER b=0

Die beiden a's widersprechen sich, also muss b=0 sein.


EDIT: ohh, eleganter gehts immer Smile
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 21 Jan 2009 - 22:57:21    Titel:

.

Zitat:
sin[z]=(exp[iz]-exp[-iz])/2i

Kriege ich nach ein bisschen umformen


könnte es sein, dass dein Umformen auf
exp[2iz] = 1
geführt hat?

und könnte es sein, dass nicht nur e^0 =1 ist?

1= cos(0+2k*pi) + i* sin(0+2k*pi) Very Happy
.
dr.dentz
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Anmeldungsdatum: 07.02.2008
Beiträge: 36

BeitragVerfasst am: 21 Jan 2009 - 23:03:25    Titel:

Annihilator hat folgendes geschrieben:
Noch ein kleiner Nachweis dessen, was Cheater! schrieb:

--> (X = ln(1) / (2i) = i * 2pi * Z / (2i) = pi * Z)


An der Stelle brauche ich eine kleine Erläuterung Embarassed
Wie ist das mit den Logarithmen aus komplexen Zahlen?

€dith sagt: Mathefan hat recht mit seiner Annahme Wink
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
Wohnort: (hier nicht mehr aktiv)

BeitragVerfasst am: 21 Jan 2009 - 23:09:42    Titel:

Der Logarithmus einer komplexen Zahl ist prinzipiell nicht als Funktion der Form C --> C zu verstehen, sondern viel eher als Funktion der Form C --> P(C). Soll heißen, man gibt eine komplexe Zahl als Argument rein und erhält eine Teilmenge der komplexen Zahlen als Ergebnis. Hängt einfach damit zusammen, dass die Gleichung exp(x) = c keine eindeutige Lösung besitzt. Auf jeden Fall kann der natürliche Logarithmus für komplexe Zahlen wie folgt definiert werden:

ln(c) = ln(abs(c)) + i * arg(c)

arg(c) ist dabei eben als Teilmenge der komplexen Zahlen zu verstehen. Müsste man aber erstmal alles per Definition und notationeller Konvention klären. Auf jeden Fall wäre dann

ln(1) = ln(abs(1)) + i * arg(1) = 0 + i * {atan2(1, 0) + 2pi * k | k € Z} = 2pi * Z
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 21 Jan 2009 - 23:19:11    Titel:

.
Zitat:
€dith sagt: Mathefan hat recht mit seiner Annahme
Very Happy eben..

und wohl auch damit : 1= cos(0+2k*pi) + i* sin(0+2k*pi) Very Happy

und wenn du dann noch herausfindest, was das mit e^.. zu tun haben könnte,
dann brauchst du keine Logarithmen Sad mehr .. oder?
.
dr.dentz
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Anmeldungsdatum: 07.02.2008
Beiträge: 36

BeitragVerfasst am: 21 Jan 2009 - 23:35:10    Titel:

Alles Klar, danke an alle für die schnelle und ausführliche Hilfe! Very Happy
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