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diagonalisierbarer Endomorphismus
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Taddy
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Anmeldungsdatum: 15.07.2007
Beiträge: 241

BeitragVerfasst am: 24 Jan 2009 - 11:52:14    Titel:

Hi,
das verstehe ich gerade nicht.
Ich habe die Abbildung
F (a, b) --> (b, a+b)
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
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BeitragVerfasst am: 24 Jan 2009 - 11:59:21    Titel:

Diese abbildung hat bezüglich der Standardbasis folgende Abbildungsmatrix:

0 1
1 1


Das charakteristische Polynom ist det(A - λ * I_n) = -λ * (1 - λ) - 1 * 1 = λ² - λ - 1
Taddy
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Anmeldungsdatum: 15.07.2007
Beiträge: 241

BeitragVerfasst am: 24 Jan 2009 - 12:10:53    Titel:

hey,
ja, ds habe ich auch rausbekommen
und für die eigenwerte dann
wurzel(1,25) + 0,5
und - wurzel(1,25) + 0,5

aber wenn ich davon die eigenwerte bestimmen will, kommt die oben angegebene matrix raus...
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
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BeitragVerfasst am: 24 Jan 2009 - 12:21:52    Titel:

phi := (1+wurzel(5))/2

Ich behaupte mal, dass 1/phi = phi-1 und dass deine Eigenwerte phi und -1/phi sind. Jetzt versuch mal damit die Kerne der entsprechenden Matrices zu bestimmen unter Beachtung phi-1 = 1/phi !
Taddy
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Anmeldungsdatum: 15.07.2007
Beiträge: 241

BeitragVerfasst am: 24 Jan 2009 - 12:26:33    Titel:

dein phi entspricht doch genau meinen werten, oder nicht?
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 24 Jan 2009 - 12:30:51    Titel:

Genau.


Und nun berechne ker(A - φ * I_2), deine Matrix kommt dabei nicht raus.
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
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BeitragVerfasst am: 24 Jan 2009 - 12:31:40    Titel:

Taddy hat folgendes geschrieben:
dein phi entspricht doch genau meinen werten, oder nicht?

Sag ich doch Wink
Ist nur so, dass es sich dabei um den Goldenen Schnitt handelt und dieser üblicherweise mit phi bezeichnet wird.
Taddy
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Anmeldungsdatum: 15.07.2007
Beiträge: 241

BeitragVerfasst am: 24 Jan 2009 - 12:59:02    Titel:

wir haben es immer so gelernt, dass wir

phi*Es - A l 0


berechnet haben.
und da kommt bei mir irgendwie
1 0
0 1

raus... also habe ich michg verrechnet?
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
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BeitragVerfasst am: 24 Jan 2009 - 13:03:44    Titel:

Ja. Du musst das phi-fache der Einheitsmatrix von der Abbildungsmatrix subtrahieren und den Kern dieser Differenz-Matrix bestimmen.

F - phi E =
Code:

-phi    1
  1   1-phi


Nun ersetze mal 1-phi durch -1/phi und du wirst sehen, dass du mit elementaren Zeilenoperationen auf eine Matrix mit einer Nullzeiler kommst.
Taddy
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Anmeldungsdatum: 15.07.2007
Beiträge: 241

BeitragVerfasst am: 24 Jan 2009 - 13:36:04    Titel:

ok, ich versuche das mal...
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