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Asymtoten
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cherry898
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 52

BeitragVerfasst am: 24 Jan 2009 - 15:59:52    Titel: Asymtoten

Hallo!
Ich hab ein Problem mit Asymptoten, ich mache nämlich mein Abitur auf einem Technischen Gymnasium und wir haben als Funktionen nie welche mit Bruch gegeben, sondern nur welche mit ganz normalen Gleichungen wie f(x)=ax^2+bx+c
Wie komme ich bei solchen Funktionen auf die Asymptoten (in x- und in y-Richtung)?

habe hier noch 2 Aufgaben mit der Funktion e:

1) f(x)=(e^-x)-3
2) g(x)=5+6*e^-x

Bestimmen Sie die Gleichung der Asymptoten

Kann mir das einer mal genauer erklären??
archur
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Anmeldungsdatum: 05.07.2006
Beiträge: 465

BeitragVerfasst am: 24 Jan 2009 - 16:11:55    Titel:

Suchst du jetzt Asymptoten für gebrochen rationale Funktionen oder für exponentialfunktionen?

Für gebrochen rationale Funktionen:
Du guckst dir die höchste Potenz im Zähler (über dem Bruchstrich) und die höchste Potenz im Nenner (unter dem Bruchstrich) an. Und dann kannst du gucken:

Ist oben größer als unten -> Funktion geht gegen unendlich
Ist oben kleiner als unten -> Funktion geht gegen Null
Sind beide gleich -> Die Funktion geht gegen den Quotienten der Beiden Koeefizienten. Beispiel: f(x) = (3x² +5) / (2x² -3x) -> Die Funktion geht gegen 3/2.

Wenn die obere Potenz größer ist als die untere, kannst du auch noch etwas genauer sein als nur zu sagen: "Die Funktion geht gegen Unedlich" und zwar indem du eine Polynomendivision durchführst. Als ergebnis der Division bekommst du einen ganzrationalen teil und einen gebrochen rationalen teil. Der ganzrationale Teil ist deine Annäherungsfunktion für x gegen unedlich (also die Asymptote), der gebrochenrationale Teil ist die Annäherung für x gegen Null.

Bei den exponetialfunktionen weiß ich leider keine bessere Lösung, als, dass die erste Funktion gegen unedlich geht. Auflösung nach den Potenzgesetzen: f(x) = (e^-x)^(-3) = e^(-x)*(-3) = e^3x
Und die zweite geht gegen Null für x gegen unedlich, weil der Exponent dann negativ wird.
cherry898
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 52

BeitragVerfasst am: 24 Jan 2009 - 16:16:28    Titel:

hey!
danke für deine schnelle Antwort.
Ich suche Asymptoten für Exponentialfunktionen! Finde aber niergends eine anwendbare Erklärung Sad
Was sagt mir das, das eine Funktion gegen unendlich geht? Wie komme ich dann an den Wert an der das so ist?
Achja und du hast eine falsche Funktion für meine Aufgabe Nr. 1 verwendet Smile das heißt nämnlich -3 und nicht hoch 3... also f(x)=e^-x -3 (nur das -x steht oben)
archur
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Anmeldungsdatum: 05.07.2006
Beiträge: 465

BeitragVerfasst am: 24 Jan 2009 - 17:40:08    Titel:

Mit die Funktion geht gegen Unendlich meine ich: Wenn du sehr große X-Werte einsetzt werden die Y-Werte immer größer und zwar ohne Grenze!
Mit gegen Null gehen meine ich: wenn du sehr große x-werte einsetzt werden die Y-Werte zwar immer kleiner, aber niemals kleiner als Null, also der Graph "schmiegt" sich der X-Achse an. Zur Verdeutlichung kannst du dir deine Funktion ja mal zeichnen lassen.

Wie du jetzt aber allgemein die Gleichung der Asymptoten einer Exponentialfunktion für x gegen unendlich bestimmst, weiß ich leider nicht.

Für dein erstes Beispiel ist die Asymptote y=-3, weil sich e^-x zwar immer weiter Null annähert (für sehr große x), aber du immer nochmal drei abziehst. Deine Funktionswerte liegen also immer knapp über -3.

Für das zweite Beispiel ist die Asymptote y=5, weil der Teil 6*e^-x mit größer werden x zwar immer kleiner wird (bis er fast ganz Null ist), aber du addierst ja immer noch 5 drauf, also sind deine Funktionswerte für sehr große x immer 5 und ein bisschen, also ist die Asymptote y=5.

Achtung nicht verwirren lassen, die Asymptoten in meinem ersten post zu deinen beiden Beispielen waren falsch!
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