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homogene DGL
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Progressive
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Anmeldungsdatum: 30.09.2006
Beiträge: 3988

BeitragVerfasst am: 09 Feb 2009 - 21:03:34    Titel: homogene DGL

Hi,

ich habe hier eine DGL, dessen Lösung ich nicht ganz nachvollziehen kann:

7x(..) - 4x(.) - 3x = 0

e^(µt) = x

=> 7µ² - 4µ - 3 = 0

Eine Lösung ist offensichtlich µ=1, die andere aber soll µ=-3/7 sein.

Das wäre ja dann bei

µ² - 4/7µ - 3/7 = 0 das Absolutglied. Zufall ? Wenn man dieser Gleichung jetzt die Nullstellen bestimmen würde, würde man ja zwei (sehr krumme) Nullstellen erhalten, die doch auch Lösungen wären, oder ?
Progressive
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Anmeldungsdatum: 30.09.2006
Beiträge: 3988

BeitragVerfasst am: 10 Feb 2009 - 07:30:15    Titel:

danke..

das Problem hierbei ist, dass laut "Buchlösung" eben 1 (was klar ist) und -3/7 herauskommt. Alleine aber anhand der "Mitternachtsformel" erhält man dann aber doch bereits insgesamt drei Nullstellen, zumal letzte beiden ziemlich krumm sind (und nicht -3/7).. kann auch sein, dass ich das mal ohne TR durchgehen sollte..
BarneyG.
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Anmeldungsdatum: 16.11.2008
Beiträge: 668

BeitragVerfasst am: 10 Feb 2009 - 09:21:45    Titel:

Zitat:
7µ² - 4µ - 3 = 0


Wollen wir diese Gleichung mal gemeinsam und in Ruhe mit der "Mitternachtsformel" lösen?

µ_1_2 = (-(-4) +- sqrt(16 - 4 * 7 * (-3) ) / (2 * 7)

= (4 +- sqrt(16 + 84)) / 14

= (4 +- 10) / 14

= 1 bzw -3/7

Also, nix mit krummen Lösungen. Und schon gar nix mit DREI Lösungen. Vielleicht solltest du in deinen TR mal eine neue Batterie einlegen ... Very Happy


P.S.: Aber vielleicht kann mir jetzt ja jemand auch mal einen Gefallen tun. Wieso heißt denn diese Formel eigentlich "Mitternachtsformel"? Was hat denn die Formel mit der nächtlichen Stunde zu tun?
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
Wohnort: (hier nicht mehr aktiv)

BeitragVerfasst am: 10 Feb 2009 - 10:44:30    Titel:

War mir früher auch immer ein Rätsel. Soll wohl angeblich so gemeint sein, dass wenn du zur Mitternacht im Tiefschlaf bist und dich dein Lehrer schlagartig aufweckt und dich nach der Formel fragt, du sie ihm wie aus der Pistole geschossen sagen können musst. Toll oder? Confused
lisa.mainhard
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Anmeldungsdatum: 17.11.2008
Beiträge: 216

BeitragVerfasst am: 10 Feb 2009 - 10:50:10    Titel:

Die Formel heißt umgangssprachlich deshalb Mitternachtsformel, weil diese Formel so elementar und wichtig in der Mathematik ist, dass man sie zu jeder Tages- und Nachtzeit parat haben sollte. Solltest du einmal um Mitternacht geweckt werden, dann musst die Mitternachtsformel wie aus der Pistole geschossen korrekt aufsagen können Smile
edit: Oh, da war Annihilator ein wenig schneller als ich...
BarneyG.
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Anmeldungsdatum: 16.11.2008
Beiträge: 668

BeitragVerfasst am: 10 Feb 2009 - 11:14:09    Titel:

Na, dann Danke an euch beide. Da wär ich wohl alleine nie drauf gekommen ... Shocked

Bleibt nur noch eins anzumerken: ich würde niemandem raten, mich wegen dieser Formel um Mitternacht tatsächlich zu wecken! Very Happy
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1890
Wohnort: Atlantis

BeitragVerfasst am: 10 Feb 2009 - 12:59:16    Titel: Werbung.

Ich wollte noch etwas Werbung für die L-Trafo machen und zeigen, wie hier die Anfangsbedingungen gleich in der allgemeinen Lösung enthalten sind.
x"(t) -(α+β)·x'(t) +(α·β) ·x(t) = 0
°-•
s²·X(s)-s·x(0)-x'(0) -(α+β)·[s·X(s)-x(0)] +α·β ·x(s) = 0
→ X(s) = [x(0)·s +x'(0)-(α+β)·x(0)]÷[(s-α)·(s-β)]
Ansatz für PBZ:
X(s) = A÷(s-α) +B÷(s-β)
Multiplikation mit dem Hauptnenner:
x(0)·s +x'(0)-(α+β)·x(0) = A·(s-β) +B·(s-α)
Nullstellen einsetzen:
s := α → A = [x'(0)-β·x(0)]÷(α-β)
s := β → B = -[x'(0)-α·x(0)]÷(α-β)
partialbruchzerlegte Bildfunktion:
X(s) = 1÷(α-β) ·{[x'(0)-β·x(0)]÷(s-α) -[x'(0)-α·x(0)]÷(s-β)}
•-°
x(t) = 1÷(α-β) ·{[x'(0)-β·x(0)]·exp(α·t) -[x'(0)-α·x(0)]·exp(β·t)}
Für das vorliegende Beispiel folgen mit "α+β = 4÷7" und "α·β = -3÷7" [über die Mitternachtsformel] die beiden Werte α = 1 und β = -3÷7 (können auch vertauscht werden).
Progressive
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Anmeldungsdatum: 30.09.2006
Beiträge: 3988

BeitragVerfasst am: 10 Feb 2009 - 20:45:48    Titel:

ok, ich danke euch..

aber wenn ich das löse, bekomme ich :

7µ² - 4µ - 3 = 0

µ² - 4/7µ - 3/7 = 0

µ1,µ2 = (4/7)/2 +/- sqrt( ((4/7)/2)²) + 3/7 )

= 4/14 +/- sqrt( 16/196 + 3/7 )

= 4/14 +/- sqrt( (16+84)/196 )

= 4/14 +/- sqrt( 100/196 )

= 4/14 +/- sqrt( ..bla )


für was bin ich hier denn zu doof ?
BarneyG.
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Anmeldungsdatum: 16.11.2008
Beiträge: 668

BeitragVerfasst am: 10 Feb 2009 - 20:53:32    Titel:

Zitat:
für was bin ich hier denn zu doof ?


Keine Ahnung! Wer soll dir denn sowas beantworten! Very Happy

Zitat:
= 4/14 +/- sqrt( 100/196 )

= 4/14 +/- sqrt( ..bla )


Also sqrt(100/196) gibt +- 10/14

Und damit erhältst du als Lösung

4/14 +- 10/14 = 1 bzw. -3/7

Wo ist denn jetzt dein Problem???? Bruchrechnung???? Shocked
Progressive
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Anmeldungsdatum: 30.09.2006
Beiträge: 3988

BeitragVerfasst am: 10 Feb 2009 - 21:40:20    Titel:

lol.. scheinbar..
bei dem Bruch 100/196, eingetippt in den TR, habe ich aufgehört weiter umzuformen..

Asche auf mein Haupt.. Rolling Eyes

Danke! ^^
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